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Tangensfunktion am Einheitskreis

Autor:GeoGebra Materials Team
Dieses Arbeitsblatt führt die dritte der trigonometrischen Funktionen ein, die Tangensfunktion. Bitte vorher die beiden Arbeitsblätter zur Sinus- und Kosinusfunktion bearbeiten.
Teil I: Wie entsteht die Tangensfunktion? Wir betrachten auch hier wieder das altbekannte rechtwinklige Dreieck (braun) im Einheitskreis. Was neu ist, sind die beiden gestrichelten schwarzen Linien:
  • Eine senkrechte Tangente an den Kreis, die durch den Punkt (1|0) geht (natürlich im Koordinatensystem des Einheitskreises).
  • Eine Gerade durch M und A, die einfach eine Verlängerung des "Uhrzeigers" ist.
Den Schnittpunkt S (rot) dieser beiden Geraden nehmen wir nun genauer unter die Lupe. Sein y-Wert (rote Strecke d) ist nämlich gerade der Tangenswert des Winkels α.
  • Wenn du den Zeiger drehst, so dass der Winkel sich 90° annähert, wird die "Zeigerverlängerung" immer steiler und der Schnittpunkt wandert bald in extreme Höhen außerhalb des Bildes. Wenn du das Kontrollkästchen "Tangenswerte anzeigen" aktivierst, kannst du sehen, wie hoch der Punkt steht.
  • Sobald du die 90° überschreitest, schneiden sich die beiden Geraden nicht mehr oberhalb des Bildes sondern unterhalb. Drehe weiter und der Punkt S erscheint von unten wieder im Bild.
  • Drehst du noch weiter, wandert S wieder nach oben, bis er schließlich erneut oben aus dem Bild verschwindet und am Ende unten wieder auftaucht.
Wie aus den beiden anderen Arbeitsblättern schon gewohnt, setzen wir nun die Bewegung des Punktes S in eine Funktion um, die du dir in der rechten Bildhälfte zeichnen lassen kannst:
  • Kontrollkästchen "d über B abtragen" aktivieren
  • Beim Punkt S' mit Rechtsklick "Spur an" auswählen.
Wie auch die Sinus- und die Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion periodisch: Der Verlauf des Graphen wiederholt sich nach einer vollen Umdrehung im Einheitskreis, sprich immer nach 360° bzw. fängt es wieder genau von vorn an. Teil II: Wie hängt die Tangensfunktion mit Sinus und Kosinus zusammen? Den Wert der Tangensfunktion kannst du rechnerisch auch bekommen, indem du den Wert der Sinusfunktion durch den der Tangensfunktion teilst. Aktiviere das Kontrollkästchen "Zusammenhang Sin/Cos anzeigen", schau dir die angezeigten Werte an und vergleiche sie mit den Tangenswerten. Es gilt also der Zusammenhang: (Den kennst du vermutlich schon aus dem Bereich der rechtwinkligen Dreiecke) Teil III: Hefteintrag
  • Zeichne einen neuen Einheitskreis mit Tangente und "Zeigerverlängerung" sowie Schnittpunkt S. Zeichne die rote Strecke für den Tangens ein.
  • Notiere die Formel für den oben erwähnten Zusammenhang der drei Funktionen.
  • Zeichne eine Tangensfunktion im Bereich von bis . Verwende dazu eine Wertetabelle von 0 bis (Taschenrechner nutzen) und überleg dir die restlichen Punkte mit Hilfe der Periodizität der Funktion. Auf der y-Achse reicht der Bereich zw. -6 und 6.

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