종이접기의 공리 5번 (Axiom 5)
공리 5. 임의의 두 점, 와 임의의 직선 이 주어질 때, 점 을 지나며 점 를 직선 에 겹치도록 하는 직선을 접을 수 있다.
공리 5. 부터는 조금 독특하다. 위의 그림처럼 점 과 가 위치하는 경우 접는 방법이 2가지이다.
이것은 점 을 중심으로 하고 선분 을 반지름 갖는 원과 직선 과의 교점이 바로 의 대칭점이기 때문이다.
여기에서 주의할 점이 생긴다. 원과 직선의 교점은 0~2개이다.
즉, 이 공리의 접는 선은 위의 예처럼 2개가 나올 수도 있지만, 유일할 수 도 있고 아예 없을 수 도 있다.
조금 더 깊이 들어가보자.
공리 5. 변형 임의의 점 와 임의의 직선 이 있을 때, 점 와 임의의 직선 위 어디로든 옮기는 것이 가능하다.
이는 점 를 을 중심으로 하고 직선 위의 한 점을 지나는 원을 언제든지 그릴 수 있기 때문이다.
그런데 접는 선의 자취를 표시하면 아래처럼 나타나는 것을 볼 수 있다. 접는 선의 자취가 어떤 곡선의 접선을 만들고 있다.
이 곡선이 바로 포물선이다. 이 때, 점 는 포물선의 초점이 되고, 직선 은 포물선의 준선이 된다.
즉, 점 를 임의의 직선 위로 겹치도록 접는 행동은 포물선 그리고 그 접선을 만드는 행동이 된다.
임의의 한 점을 임의의 직선에 겹쳐지도록 접을 때 항상 포물선이 존재하다는 것을 공리 5.의 상황에 적용해보자.
편의상 직선 이 정사각형의 밑변과 평행하다고 가정하자. 이때 점 를 초점으로 하고 직선을 준선으로 하는 포물선 가 존재하며, 공리 5.에서 언급하는 접는 선은 점 을 지나는 포물선 의 접선이 된다.
따라서 점 이 포물선 보다 아래에 있는 경우 접선은 2개를 그릴 수 있고, 점이 포물선 위에 있는 경우 접선는 1개를 그릴 수 있으며, 점 이 포물선 보다 위에 있는 경우에는 접선을 그릴 수 없음을 확인할 수 있다.