Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom
GeoGebra

Három egyenes érintő körei, négy sík érintő gömbjei

Szerző:Szilassi Lajos

Háromszög

Az összefoglalóban ezt írtuk:      
  • Négy olyan pont van a háromszög síkjában, amelyek a háromszög oldalegyeneseitől egyenlő távolságra vannak. E négy pont közül egy a háromszög beírt körének, a további három a hozzáirt köreinek a középpontja.
A jól ismert szerkesztési feladatról elég megjegyeznünk, hogy a háromszög külső és belső szögeihez tartozó szögfelezői merőlegesek egymásra. A háromszög csúcsait nem számítva ezeknek négy metszéspontjuk van, melyek mindegyikére három-három szögfelező egyenes illeszkedik. Ezek a keresett körök középpontjai. A körök sugarait e pontoknak a háromszög bármelyik oldalától mért távolság határozza meg.

Három egyenest érintő körök

Tetraéder

Erről ezt írtuk:
  • Legfeljebb hány olyan pont van a térben, amely e a tetraéder négy lapsíkjától egyenlő távolságra van? Rajzoljuk meg azokat a gömböket, amelyek a tetraéder mind a négy lapsíkját érintik.
Az analógiát kihasználva megállapíthatjuk, hogy a tetraéder minden élére két lapsík illeszkedik, amelyekhez két-két egymásra merőleges szögfelezősík tartozik. Az így kapott nyolc síknak keressük meg a tetraéder éleitől különböző metszésvonalait, majd ezeknek a tetraéder csúcsaitól különböző metszéspontjait. Ezek lesznek a keresett gömbök középpontjai. Három belső szögfelező sík közös pontja lesz a beírt gömb középpontja, három-három külső szögfelező sík közös pontja lesz a tetraéder lapjait érintő négy gömb középpontja. Ha a négy adott pont (A, B, C, D) tetraédert alkot, akkor ez az 5 gömb minden esetben létezik. A tetraéder szemközti élpárjához tartozhat még egy-egy további gömb, amelynek a középpontja e két élre illeszkedő belső, valamint a másik két élre illeszkedő külső szögfelező síkra illeszkedik. Ilyen metszéspont azonban nem mindig jön létre. Pl. a szabályos tetraéderhez csak öt érintőgömb tartozik, a "nagyon" általános tetraéderhez ezeken kívül még az imént említett három. Vajon van-e olyan tetraéder, amelynek a síkjaihoz hat, vagy hét érintőgömb tartozik?

Négy síkot érintő gömbök

Elemzés

Ahhoz, hogy alaposan tanulmányozhassuk a tetraéder érintőgömbjeinek a témáját, elég sok jelölőnégyzetre ("pipára") és gombra volt szükségünk. Egy-egy beállításhoz a ◀ ▶ gombok nyújtanak segítséget egy követendő sorrendiséget sugallva, amelyt az n sorszámmal jelezünk.
  1. Az ABCD tetraédert pontjaival adjuk meg, amelyek interaktívan mozgathatók, de megadhatók (és leolvashatók) a pontok koordinátáai a négy beviteli mezőben is. Emellett választhatunk négy gombbal előre megadott adatok között is. Erről később lesz szó. Az A, B, C, D betűkkel jelzett pipákkal kiválaszthatjuk, hogy mely csúccsal szemközti lapot ill. lapsíkot szeretnénk látni.
  2. A lapok és lapsíkok átlátszósága is szabályozható.
  3. A tetraéder belső és külső lapszög-felező síkjai akkor láthatók, ha az A, B, C, D pipák közül legalább kettő true. Ezek átláthatósága nem szabályozható.
  4. A megjelenő gömb-középpontok, a lapszög-felező síkok közös pontjai. Hasonlóan a síkbeli esethez, könnyen igazolható, hogy minden (létező) gömb-középpontra négy ilyen szögfelező sík illeszkedik. Ha a gömböket is láthatóvá tesszük, rendre megjelennek a gömbök egyenletei: G1: A tetraéder beírt gömbje. Középpontja a négy belső lapszög-szögfelező sík közös pontja. G2-G5: A tetraéder négy lapját kívülről érintő gömbök. Középpontjukra rendre három külső és egy belső lapfelező-sík illeszkedik. G6-G8 A tetraédert nem, csak a tetraéder lapsíkjait érintő gömbök. Középpontjaik rendre a tetraéder két-két szemközti él két belső és két külső lapszög-felező síkjaira illeszkednek. Ezek nem minden esetben léteznek. Ha pl. a tetraéder szabályos, akkor ezek egyike sem létezik. (5. gomb.) Könnyen előállítható olyan (ABCD) tetraéder, amelynek összesen hat érintőgömbje van. (6 gomb.) Bemutatunk egy olyan tetraédert, amelynek bár létezik mind a nyolc érintőgömbje, de egynek igen távoli a középpontja és nagy a sugara. (7? gomb.) Olvasóinkra bízzuk egy olyan tetraéder csúcsainak a megadását, amelynek pontosan hét érintőgömbje van. A "teljesen" általános esetben sem könnyű olyan tetraédert megadni, amelyben a legnagyobb és legkisebb érintőgömb sugarainak az aránya nem túl nagy. (8 gomb.)
  5. Az A, B, C, D pipák ki-be kapcsolásával meggyőződhetünk arról, hogy a kapott gömbök valóban érintik mind a négy megadott síkot. Érdekes megvizsgálni, hogy egy-egy siknak hány érintőgömb esik az egyik ill. másik félterébe.
  6. A tetraéder négy csúcsa és a lapjait kívülről érintő G2-G5 gömb középpontja meghatároz egy projektív kockát, amely valóban kocka, ha az adott tetraéder szabályos. Így nem meglepő, hogy a tetraéder csúcsai és a kapott érintőgömbök középpontjai, valamint a szögfelező síkok metszésvonalai egy(124,163) típusú pont-egyenes konfigurációt alkotnak.

Új anyagok

Anyagok felfedezése

Témák felfedezése