[justify]Dados los puntos [math]\left(-2,-0.03\right),\left(-1.33,-0.42\right),\left(-0.67,-1.87\right),\left(0,1\right),\left(0.67,3.77\right),\left(1.33,0.46\right),\left(2,0.03\right)[/math][/justify]

[justify]El teorema principal de la interpolación nos garantiza que existe un solo polinomio de grado [math]n\le1[/math] o menor que interpola éstos puntos. Entonces, usando algún método conocido de interpolación, el polinomio correspondiente a ésta interpolación es [math]P_6\left(x\right)=0.13x^6+0.78x^5-0.62x^4-4.66x^3+0.14x^2+6.14x+1[/math][/justify]

[justify]Observemos que entre el primer y segundo punto así cómo entre el penúltimo y último punto se presenta una oscilación de la curva que representa al polinomio de interpolación. Como hemos visto en el libro de Interpolación de Chebyshev, si agregamos más puntos a interpolar estás oscilaciones se agravan provocando el fenómeno de Runge.[br][br]Si conociéramos la función de la cual provienen éstos puntos, sería sencillo usar el método de interpolación de Chebyshev para solucionar dicho fenómeno aunque también exigiría tomar más puntos a interpolar para reducir en lo posible el error lo que llevaría a construir un polinomio de interpolación de un grado alto. Al no contar con dicha función, será necesario abordar éste problema usando alguna otra herramienta. [br][br]¿Cómo podríamos solucionar éste problema si el polinomio de interpolación es único?...[/justify]

[justify]Dada una serie de puntos [math]\left(x_1,y_1\right),...,\left(x_n,y_n\right)[/math] donde las abcisas no son necesariamente equidistantes pero si convenientemente ordenadas de forma que [math]a=x_1[/math]<...<[math]x_n=b[/math], diremos entonces que una función spline de grado [math]3[/math] o spline cúbica, es una función [math]S[/math] definida en el intervalo [math]\left[a,b\right][/math] compuesta por un conjunto de polinomios o trazadores cúbicos de la forma[br][br][math]S_k\left(x\right)=a_k+b_k\left(x-x_k\right)+c_k\left(x-x_k\right)^2+d_k\left(x-x_k\right)^3[/math] [math]\forall x\in\left[x_k,x_{k+1}\right][/math] para cada [math]k=1,...,n-1[/math][/justify]que satisfacen las siguientes condiciones:[br][br]a) [math]S_k\left(x_k\right)=y_k[/math] para cada [math]k=1,...,n[/math];[br]b) [math]S_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=S_k\left(x_{k+1}\right)[/math] para cada [math]k=1,...,n-2[/math][br]c) [math]S'_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=S'_k\left(x_{k+1}\right)[/math] para cada [math]k=1,...,n-2[/math][br]d) [math]S''_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=S''_k\left(x_{k+1}\right)[/math]para cada [math]k=1,...,n-2[/math][br]e) Se cumple una de las siguientes condiciones de frontera[br][list][*][math]S''_1\left(x_1\right)=S''_{n-1}\left(x_n\right)=0[/math] (frontera libre o frontera natural, spline cúbica natural)[/*][*][math]S'_1\left(x_1\right)=\alpha[/math] y [math]S'_{n-1}\left(x_n\right)=\beta[/math], (spline cúbica fija con frontera sujeta) [/*][/list] donde [math]\alpha[/math] y [math]\beta[/math] son números dados.[br][br][justify]La ecuación a) indica que la spline cúbica se ajusta a cada uno de los puntos, b) que es continua, c) y d) que es continua en pendiente y curvatura a lo largo de toda la región generada por los puntos.[br][br]Observe que dados [math]n[/math] puntos a interpolar, se necesitarán [math]n-1[/math] trazadores cúbicos lo cual implica que tendremos como incógnitas a [math]a_k,b_k,c_k[/math] y [math]d_k[/math] para [math]k=1,...,n-1[/math]. A continuación veremos la forma de construir éstos trazadores y como hallar cada una de las incognitas.[/justify]

[justify]Para construir el spline cúbico [math]S[/math], se pueden aplicar las condiciones anteriores a los trazadores cúbicos. [br][br]Observe que si [math]x=x_k[/math] entonces [math]S_k\left(x_k\right)=a_k=y_k[/math] [br][br]y si se aplica la condición b), [br][br][math]a_{k+1}=S_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=S_k\left(x_{k+1}\right)=a_k+b_k\left(x_{k+1}-x_k\right)+c_k\left(x_{k+1}-x_k\right)^2+d_k\left(x_{k+1}-x_k\right)^3[/math] para cada [math]k=1,...,n-2[/math].[br][br]Introducimos la notación [math]h_k=x_{k+1}-x_k[/math] para cada [math]k=1,...,n-1[/math][br][br]si además definimos [math]a_n=y_n[/math], se puede ver que ésto implica que la ecuación [br][br][math]a_{k+1}=a_k+b_kh_k+c_kh^2_k+d_kh^3_k[/math] para cada [math]k=1,...,n-1[/math].[br][br]De manera similar definimos [math]b_n=S'\left(x_n\right)[/math] y observamos[br][br][math]S'_k\left(x\right)=b_k+2c_k\left(x-x_k\right)+3d_k\left(x-x_k\right)^2[/math][br][br]para [math]x=x_k[/math]: [math]S'_k\left(x_k\right)=b_k[/math] para cada [math]k=1,...,n-1[/math],[br][br]aplicando la condición c),[br][br][math]b_{k+1}=S'_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=S'_k\left(x_{k+1}\right)=b_k+2c_kh_k+3d_kh^2_k[/math] para cada [math]k=1,...,n-1[/math].[br][br]Otra relación entre los coeficientes se obtiene[br][br][math]S''_k\left(x\right)=2c_k+6d_k\left(x-x_k\right)[/math] [br][br]para [math]x=x_k[/math]: [math]S''_k\left(x_k\right)=2c_k[/math] para cada [math]k=1,...,n-1[/math],[br][br]aplicando la condición d) y definiendo [math]c_n=\frac{S''\left(x_n\right)}{2}[/math] [br][br][math]c_{k+1}=S''_{k+1}\left(x_{k+1}\right)=S''_k\left(x_{k+1}\right)=c_k+3d_kh_k[/math] para cada [math]k=1,...,n-1[/math][br][br]Despejando [math]d_k[/math] de la ecuación anterior y sustituyendo [br][br][math]d_k=\frac{c_{k+1}-c_k}{3h_k}[/math] [math]\left(1\right)[/math][br][br][math]a_{k+1}=a_k+b_kh_k+c_kh^{^2}_k+\frac{c_{k+1}-c_k}{3h_k}\cdot h^3_k=a_k+b_kh_k+\frac{h^{^2}_k}{3}\left(2c_k+2c_{k+1}\right)[/math] [math]\left(2\right)[/math][br][br][math]b_{k+1}=b_k+2c_kh_k+3d_kh^{^2}_k=b_k+2c_kh_k+\left(c_{k+1}-c_k\right)h_k=b_k+\left(c_k+c_{k+1}\right)h_k[/math] [math]\left(3\right)[/math][br] [br]para cada [math]k=1,...,n-1[/math] [br][br]y luego una reducción del indice[br][br][math]b_k=b_{k-1}+\left(c_k+c_{k-1}\right)h_{k-1}[/math] [math]\left(4\right)[/math] [br][br]de [math]\left(2\right)[/math] despejamos [math]b_k[/math], [br][br][math]b_k=\frac{a_{k+1}-a_k}{h_k}-\frac{h_k}{3}\left(2c_k+c_{k+1}\right)[/math] [math]\left(5\right)[/math] [br][br]con una reducción del indice [br][br][math]b_{k-1}=\frac{a_k-a_{k-1}}{h_{k-1}}-\frac{h_{k-1}}{3}\left(c_k+2c_{k-1}\right)[/math] [math]\left(6\right)[/math][br][br]reemplazando [math]\left(5\right)[/math] y [math]\left(6\right)[/math] en [math]\left(4\right)[/math], tenemos[/justify][math]\frac{a_{k+1}-a_k}{h_k}-\frac{h_k}{3}\left(2c_k+2c_{k+1}\right)=\frac{a_k-a_{k-1}}{h_{k-1}}-\frac{h_{k-1}}{3}\left(c_k+2c_{k-1}\right)+h_{k-1}\left(c_k+c_{k-1}\right)[/math] [br][br]operando algebraicamente, nos queda [br][br][math]h_{k-1}c_{k-1}+2\left(h_{k-1}+h_k\right)c_k+h_kc_{k+1}=3\left(\frac{a_{k+1}-a_k}{h_k}-\frac{a_k-a_{k-1}}{h_{k-1}}\right)[/math] [math]\left(7\right)[/math] [br][br]introduciendo la notación [math]v_k=3\left(\frac{a_{k+1}-a_k}{h_k}-\frac{a_k-a_{k-1}}{h_{k-1}}\right)[/math][br][br][math]h_{k-1}c_{k-1}+2\left(h_{k-1}+h_k\right)c_k+h_kc_{k+1}=v_k[/math] [math]\left(8\right)[/math] [br][br][br]para cada [math]k=1,...,n-1[/math]. Este sistema tiene como incógnitas sólo a [math]\left\{c_k\right\}_{k=1}^n[/math] ya que los valores [math]\left\{h_k\right\}_{k=1}^{n-1}[/math] y [math]\left\{a_k\right\}_{k=1}^{n-1}[/math] están dados por el espaciamiento entre las abcisas [math]\left\{x_k\right\}_{k=1}^n[/math] y sus respectivos valores de [math]y_k[/math]

[justify]Nótese que una vez que se conocen los valores de [math]c_k[/math], encontrar los valores de las constantes [math]b_k[/math] de la ecuación [math]\left(5\right)[/math], [math]d_k[/math] de la ecuación [math]\left(1\right)[/math] y construir los trazadores cúbicos [math]S_k[/math] resulta una cuestión sencilla.[br]Si se cumplen las condiciones de frontera libre [math]S''_1\left(x_1\right)=S''_{n-1}\left(x_n\right)=0[/math] implican que [br][br][math]0=S''_1\left(x_1\right)=2c_1+6d_1\left(x_1-x_1\right)[/math][br][br][math]\Rightarrow c_1=0[/math][br][br][math]c_n=\frac{S''_{n-1}\left(x\right)}{2}=0\Rightarrow c_n=0[/math][/justify][justify]De acuerdo con Zapata (s.f) las dos ecuaciones [math]c_1=0[/math] y [math]c_n=0[/math] junto con las ecuaciones en [math]\left(8\right)[/math] producen un sistema lineal descrito por la ecuación vectorial [math]AX=B[/math], lo que nos da un total de [math]n[/math] ecuaciones con [math]n[/math] incognitas [math]c_k[/math] lo cual puede escribirse en la forma matricial[/justify]

La propiedad e), establece que se cumple solo una de las siguientes condiciones de frontera[br][list][*][math]S''_1\left(x_1\right)=S''_{n-1}\left(x_n\right)=0[/math] (frontera libre o frontera natural, spline cúbica natural)[/*][*][math]S'_1\left(x_1\right)=\alpha[/math] y [math]S'_{n-1}\left(x_n\right)=\beta[/math] (spline cúbica con frontera sujeta)[/*][/list] donde [math]\alpha[/math] y [math]\beta[/math] son especificadas por el usuario.[br][br][justify]La primera condición de frontera la hemos visto en el capítulo anterior. La segunda condición resulta de gran utilidad ya que son las primeras derivadas [math]S'_1\left(x_1\right)[/math] y [math]S''_{n-1}\left(x_n\right)[/math] las que establecen los valores respectivos de [math]\alpha[/math] y [math]\beta[/math] especificados por el usuario. Por lo cual se tiene el control de la pendiente al principio y al final del spline.[/justify]

Para el extremo izquierdo, si [math]S'_1\left(x_1\right)=\alpha[/math], implica que [math]S'_1\left(x_1\right)=b_1+2c_1\left(x_1-x_1\right)+3d_1\left(x_1-x_1\right)^2=b_1=\alpha[/math][br][br]Por la propiedad d) de las propiedades de la spline cúbica y dado que [math]h_1=x_2-x_1[/math] tenemos que[br][br][math]S'_2\left(x_2\right)=S'_1\left(x_2\right)=b_1+2c_1\left(x_2-x_1\right)+d_1\left(x_2-x_1\right)^2=b_1+2c_1h_1+3d_1h^2_1[/math][br][br]tomando en cuenta que [math]b_1=\alpha[/math] y [math]S'_2\left(x_2\right)=b_2[/math], la diferencia [math]S'_1\left(x_2\right)-S'_2\left(x_2\right)[/math] se puede expresar como[br][br][math]0=S'_1\left(x_2\right)-S'_2\left(x_2\right)=\alpha+2c_1h_1+3d_1h^2_1-b_2[/math] [br][br]ahora, de la construcción de trazadores cúbicos para [math]k=1,...,n-1[/math] sabemos que [math]d_k=\frac{c_{k+1}-c_k}{3h_k}[/math] y [math]b_k=b_{k-1}\left(c_k-c_{k-1}\right)h_{k-1}[/math], entonces [br][br][math]0=\alpha+2c_1h_1+3\left(\frac{c_2-c_1}{2h_1}\right)h^2_1-\left(b_1+\left(c_2-c_1\right)h_1\right)[/math][br][br]sabemos también que para [math]k=1,...,n-1[/math], [math]b_k=\frac{a_{k+1}-a_k}{h_k}-\frac{h_k}{3}\left(2c_k+c_{k+1}\right)[/math], entonces[br][br][math]0=\alpha+2c_1h_1+3\left(\frac{c_2-c_1}{3h_1}\right)h^2_1-\left(b_1+\left(c_2-c_1\right)h_1\right)=\alpha+2c_1h_1+3\left(\frac{c_2-c_1}{3h_1}\right)h^2_1-\left(\frac{a_2-a_1}{h_1}-\frac{h_1}{3}\left(2c_1+c_2\right)+\left(c_2-c_1\right)h_1\right)[/math][br][br]operando algebraicamente, nos queda [br][br][math]2h_1c_1+h_1c_2=3\left(\frac{a_2-a_1}{h_1}-\alpha\right)[/math] (9)[br][br]Para el extremo derecho, si [math]S'_{n-1}\left(x_n\right)=\beta[/math], entonces[br][br][math]S'_{n-1}\left(x_n\right)=b_{n-1}+2c_{n-1}\left(x_n-x_{n-1}\right)+3d_{n-1}\left(x_n-x_{n-1}\right)=b_{n-1}+2c_{n-1}h_{n-1}+3d_{n-1}h^2_{n-1}=\beta[/math][br][br]sustituyendo [math]b_{n-1}=\frac{a_n-a_{n-1}}{h_{n-1}}-\frac{h_{n-1}}{3}\left(2c_{n-1}+c_n\right)[/math] y [math]d_{n-1}=\frac{c_n-c_{n-1}}{3h_{n-1}}[/math] en la ecuación anterior, tenemos[br][br][math]\frac{a_n-a_{n-1}}{h_{n-1}}-\frac{h_{n-1}}{3}\left(2c_{n-1}+c_n\right)+2c_{n-1}h_{n-1}+3\left(\frac{c_n-c_{n-1}}{3h_{n-1}}\right)h^2_{n-1}=\beta[/math][br][br]operando algebraicamente, nos queda[br][br][math]h_{n-1}c_{n-1}+2h_{n-1}c_n=3\left(\beta-\frac{a_n-a_{n-1}}{h_{n-1}}\right)[/math] (10)[br][br]Así, de (9) y (10),la matriz [math]AX=B[/math] definida en el capítulo anterior queda de la siguiente manera (Sauer, 2012)[br]

[justify][math]A[/math] al ser una matriz diagonal estrictamente dominante, tiene solución única, es decir, la spline cúbica con frontera sujeta es única y su demostración es análoga a la unicidad de la spline cúbica natural. [/justify]

[justify]Ilegalmente una empresa emitió en secreto acciones que en un lapso de ocho días perdieron totalmente su valor debido a múltiples fraudes y escándalos que llevaron a la quiebra total de ésta. Los accionistas involucrados se negaron a decir nada sobre éste caso y la comisión encargada de resolver éste caso solo sabe que cada acción al tercer día tenían un valor de $2, al quinto día un valor de $5 y eventualmente al octavo día un valor de $0. Para facilitar el análisis en su investigación, resulta lógico asumir que el día cero (antes de emitir dichas acciones) el valor de cada acción era de $0. Para pronosticar el comportamiento de las acciones de éstos ocho días, la comisión encargada de resolver éste caso uso el método de interpolación de diferencias divididas de Newton, sin embargo, al aplicar el método éste arrojo resultados negativos entre el día cero y el segundo día como se puede observar en el siguiente applet de Geogebra. [br][br]Se cree que si en lugar de usar el método de Newton, si se usa el método de la Spline cúbica con pendientes ajustadas en los extremos iguales a cero, se podrá obtener un mejor escenario de lo que ocurrió esos ocho días. Utiliza el applet de Geogebra para resolver ésto y obtener una gráfica que permita visualizar mejor éste escenario. [/justify]

Chica, A. (2018). [i]Interpolación spline y aplicación de las curvas de nivel (tesis de pregrado). [/i]Universidad de Barcelona, España.[br][br]Zapata, E. (sin fecha). [i]Interpolación segmentaria o splines. [/i]Colombia. Disponible en: http://matematicaaplicada.jezasoft.co/jeza/material_de_apoyo/algebra_lineal/interpolacion_con_splines.pdf[br][br]Doubova, A. y Guillén F. (2007). [i]Un curso de cálculo numérico: interpolación, aproximación, integración y resolución de ecuaciones diferenciales. [/i]España: Universidad de Sevilla.[br][br]Sauer, T. (2012), [i]Numerical Analysis.[/i] 2nd edn. Estados Unidos: Pearson.