Construções preliminares
Esta atividade pertence ao livro de GeoGebra GeoGebra Principia.
Vamos voltar à nossa métrica euclidiana familiar. Até agora, usamos álgebra para facilitar a observação de lugares geométricos. Vamos agora ver um exemplo do processo recíproco: usar a geometria para facilitar a observação de estruturas algébricas.
Normalmente, pensamos em estruturas algébricas (grupos, anéis, corpos...) como algo inerente a certas estruturas numéricas, como números inteiros ou números reais.
No entanto, podemos criar facilmente estruturas geométricas equivalentes, com a vantagem de que assim podemos visualizar cada operação aritmética como uma construção geométrica.
Se fixarmos um ponto O no plano, podemos considerar a distância (euclidiana) do restante dos pontos até O. Denotaremos OP como a distância de O até P.
Os pontos que equidistam de O formam uma CIRCUNFERÊNCIA.
Ao fixarmos outro ponto I diferente de O, estabelecemos uma DIREÇÃO, uma ORIENTAÇÃO O→I e uma RETA r.
Tomaremos a distância OI como UNIDADE. Além disso, dois pontos na reta limitam uma semicircunferência. Um ponto P está na reta r se cumprir uma das seguintes igualdades:
OI = OP + PI (P está entre O e I)
OP = OI + IP (I está entre O e P)
PI = PO + OI (O está entre P e I)
- Simétrico: Se A está na reta, nela existe apenas outro ponto A' à mesma distância de O que A.
- Mediatriz: Dados dois pontos distintos A e B, podemos encontrar todos os pontos que equidistam deles.
- Punto médio: Intersectando a mediatriz com a reta r, obtemos o ponto médio MAB.
- Perpendicular: A mediatriz nos permite traçar perpendiculares (basta traçar a circunferência com centro P em um ponto qualquer de r).
- Paralela: Com duas perpendiculares, obtemos uma reta paralela à r.
- Inversão
: Com a circunferência e a perpendicular, podemos construir a inversão de A, A-1.
Autor da atividade e construção GeoGebra: Rafael Losada.