Torwinkel
Ein Fußballspieler möchte von der Seitenlinie aus auf das gegnerische Tor schießen.
Der Winkel, unter dem er dabei das Tor sieht, soll möglichst groß sein, weil das die Trefferchance erhöht.
In welcher Entfernung von der Eckfahne muss er schießen?
Das Fußballfeld sei 68 m breit und die Torpfosten stehen 7,32 m voneinander entfernt.
(aus: Pierre Berloquin, "Garten der Sphinx")
Die Torpfosten sind mit P1 und P2 gekennzeichnet. Der Ursprung des Koordinatensystems ist die Position der Eckfahne.
Ziehe die Position X des Spielers entlang der Seitenlinie!
Die Winkelgröße wird dir jeweils angezeigt und die gelbe Spur zeigt ihren Verlauf in 100-facher-Vergrößerung (Werte im Bogenmaß an der y-Achse).
Lösung:
Steht der Spieler an der Eckfahne, beträgt der Öffnungswinkel 0°, denn die beiden Pfosten stehen aus seiner Sicht in einer Linie hintereinander.
Entfernt er sich entlang der Seitenlinie von der Eckfahne, wird der Sichtwinkel zunächst größer, aber ab einem bestimmten Punkt verkleinert er sich wegen der zunehmenden Entfernung.
Wir denken uns nun einen Kreis durch die beiden Torpfosten und die Position des Spielers auf der Seitenlinie.
Durch die drei Punkte ist der Kreis eindeutig bestimmt und sein Mittelpunkt liegt auf der Mittelsenkrechten der Verbindungslinien je zweier Punkte.
Eine dieser Verbindungslinien ist die Torlinie.
Der Winkel, den wir maximieren wollen (in der Grafik α, der mit den roten Schenkeln), ist ein sogenannter Peripheriewinkel.
Dazu tragen wir den zugehörigen sogenannten Mittelpunktswinkel ein, der die beiden Torpfosten mit dem Mittelpunkt des Kreises verbindet (µ mit den grünen Schenkeln).
Der Peripheriewinkelsatz besagt, dass der Mittelpunktswinkel µ immer genau doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel α.
Daraus folgt unmittelbar, dass wir α maximieren können, indem wir µ maximieren.
Da der Abstand zwischen den Torpfosten gleich bleibt, wird der Mittelpunktswinkel µ umso größer, je kleiner der Kreis ist.
Den größtmöglichen Wert von 180° würde er erreichen, wenn sich der Mittelpunkt genau zwischen den Pfosten befände.
Das geht aber nicht, weil der dritte Punkt auf der Kreislinie ja auch auf der Seitenlinie liegen muss.
Der kleinstmögliche Kreis (und damit der größtmögliche Mittelpunktswinkel), den wir unter dieser Randbedingung erreichen können, ist derjenige, der die Seitenlinie nur berührt statt sie zu schneiden.
Bleibt nur noch die Frage, bei welcher Entfernung von der Eckfahne X (in der Grafik blau eingezeichnet) diese Bedingung erfüllt ist!?
Um dieseFrage zu beantworten, brauchen wir nur noch den Satz des Pythagoras, denn X bildet mit der halben Torbreite t und dem einen Schenkel des Mittelpunktswinkels (grün) ein rechtwinkliges Dreieck.
Die Torbreite t ist gegeben und der Schenkel des Mittelpunktswinkels entspricht genau dem Kreisradius r.
Den kennen wir aber, weil wir wissen, dass sich der Kreismittelpunkt genau auf der halben Spielfeldbreite befindet. (Wir gehen davon aus, dass das Tor in der Mitte steht!)
Außerdem soll der Kreis die Seitenline gerade berühren. Deswegen entspricht der Kreisradius der halben Spielfeldbreite, die ebenfalls gegeben ist.
Damit ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras mit t/2 = 7,32 m / 2 = 3,66 m und r = 34 m für X:
X = sqrt(r² - (t/2)²) = 33,8 m
Eine andere Fragestellung zum gleichen geometrischen Problem sowie eine Lösung mittels Analysis finden sich bei https://www.MiJan.de/mathe/goettingen.html