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Bizirkulare Quartiken

ForfatterWalter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books bizirkulare Quartiken & Darboux Cycliden (21. April 2020)

 Eine bizirkulare Quartik ist eine implizite ebene Kurve 4.-ter Ordnung des Typs:
  • , mit
Dieser Kurventyp ist invariant unter Möbiustransformationen in . Zu dieser Kurvenklasse gehören viele seit alters her bekannte spezielle Kurven: die Kegelschnitte und ihre Inversen unter Spiegelungen an Kreisen ( Pascalsche Schnecken), die Cassini-Kurven und die Kardioiden und manche anderen. Jede bizirkulare Quartik besitzt genau 4 Brennpunkte; diese Brennpunkte können auch zusammenfallen. Eine bizirkulare Quartik ist stets eine Kurve einer Schar konfokaler bizirkularer Quartiken: es handet sich dabei um Lösungskurven spezieller elliptischen Differentialgleichungen des Typs
  • mit geeignetem
für den Fall, dass die komplexen Brennpunkte , also die Nullstellen der Differentialgleichung
  • I. : entweder verschieden und konzyklisch sind, dh. sie liegen auf einem Kreis. Ihr komplexes Doppelverhältnis ist reell.
  • II. : oder aber in 2 Paaren spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen; ihr Doppelverhältnis ist vom Betrag 1
  • III. : oder aber 2 der 4 Brennpunkte zusammenfallen
  • IV. : oder aber 3 der 4 Brennpunkte zusammenfallen
  • V. : oder aber in 2 doppelt zählenden Brennpunkten auftreten
  • VI. : oder schließlich alle 4 Brennpunkte in einem 4-fach zählenden zusammenfallen.
In der Regel gehen in diesen Fällen durch fast jeden Punkt der Ebene genau 2 orthogonale bizirkulare Lösungskurven, ausgenommen in 2 Sonderfällen: - besitzen die konzyklischen Brennpunkte harmonische Lage, so gibt es 4 Scharen von Quartiken, die sich unter Vielfachen von 45° schneiden, - in Tetraeder-Lage der Brennpunkte gibt es 6 Scharen von Quartiken, welche sich unter Vielfachen von 30° schneiden. Die Lage der Brennpunkte erlaubt möbiusgeometrisch eine einfache Charakterisierung der bizirkularen Quartiken:
  • I: Die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen auf einem Kreis: konzyklische Lage. Die Quartiken sind 2-teilig und besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise: in Normalform können diese als die Koordinatenachsen zusammen mit dem Einheitskreis gewählt werden, ein Symmetriekreis ist imaginär. Die Brennpunkte legen wir auf die reellen Achse.
  • II: In 2 Paaren liegen die Brennpunkte symmetrisch auf 2 orthogonalen Kreisen. Mit einer Möbiustransformation kann man erreichen, dass die Brennpunkte mit auf den Koordinatenachsen liegen. Die Quartiken sind 1-teilig.

I : 2-teilige & II : 1-teilige bizirkulare Quartiken in Normalform

III : Ellipsen und Hyperbeln & IV : Parabeln

III & IV: Die Kegelschnitteigenschaften sind bekannt, daher nur kurz: ist ein 2-fach zählender Brennpunkt, im Parabelfalle sogar 3-fach zählend. Die Tangenten sind Winkelhalbierende der Brennstrahlen; da als Kurvenpunkt gerechnet werden kann, sind die Tangenten doppelt-berührende "Kreise". Hinzu kommen die achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreise.

V & VI : Kreisbüschel^2

V & VI: Das Produkt zweier Kreise ist eine bizirkulare Quartik (daher vielleicht der Name!)
  • Zwei Kreise, die sich in 2 Punkten schneiden: diese Punkte sind die doppelt-zählenden Brennpunkte des zugehörigen hyperbolischen Kreisbüschels
  • Zwei sich nicht schneidende Kreise erzeugen ein elliptisches Kreisbüschel: Brennpunkte sind die Grundpunkte des Büschels
  • Zwei sich berührende Kreise erzeugen ein parabolisches Kreisbüschel: der Berührpunkt ist der 4-fach zählende Brennpunkt.
Enthalten in dieser Aufzählung sind auch die Punktkreise.
Dieses Applet oben zeigt nahezu alle bizirkularen Quartiken in Normalform an. Es fehlen einige der in 2 Kreise zerfallenden Quartiken und die Möbiustransformierten der Parabeln mit einem 3-fach und einem 1-fach zählenden Brennpunkt. Die implizite Kurve mit der Gleichung
  • , und
ist 2-teilig für sign = 1, 1-teilig für sign=.-1 und ein am Einheitskreis gespiegelter Mittelpunkts-Kegelschnitt (sign = 0). Die Scheitelwerte und werden für die 3 Fälle gemeinsam berechnet. Die Schnittpunkte mit dem Einheitskreis sind . Auch die Brennpunkte errechnen sich mit einer einheitlichen Formel:
  • mit
  • mit
Dank geToolbar Imagegebra rechnet die -Funktion komplex; es werden mit dieser Formel sogar die Brennpunkte auf dem Einheitskreis berechnet!! Benötigte Rechentechnik: wiederholte Anwendung der Formel! Wegen der Symmetrieen sind nur spezielle biquadratische Gleichungen zu lösen. Es mag scheinen, als würden 8 Brennpunkte berechnet: in manchen Fällen sind Lösungen nicht definiert, weil die Scheitelwerte undefiniert sind; in anderen Fällen ergeben sich dieselben Lösungen. Im Kegelschnitt-Falle (sign = 0) ist der Ursprung als doppelt-zählender Brennpunkt zu erkennen, d. h. ist möbiusgeometrisch für (Mittelpunkts-)Kegelschnitte ein doppelt-zählender Brennpunkt! Geometrische Bedeutung der Brennpunkte & doppelt-berührende Kreise (db-Kreise) Im 2-teiligen Falle (I) kann man die 4 Brennpunkte auf 3 Arten in 2 Brennpunktpaare aufteilen. Zu jeder dieser Paarbildungen gehört eine der Symmetrieen und 2 hyperbolische - oder orthogonal dazu 2 elliptische - Kreisebüschel - mit diesen Brennpunktspaaren als Grundpunkten. Durch fast jeden Punkt der Ebene gehen je genau ein Kreis aus den beiden Kreisbüscheln. Die bizirkulare Quartik ist Winkelhalbierende dieser beiden Kreise! Einer der beiden winkelhalbierenden Kreise zu den beiden Kreisbüschel-Kreisen ist ein Kreis, welcher die Quartik doppelt berührt. Das Richtungsfeld, welches durch die Konstruktion eben beschrieben wurde, gehört zu der oben erwähnten elliptischen Differentialgleichung. Im 1-teiligen Falle (II) nehme man zu den beiden symmetrisch liegenden Brennpunktpaaren ein hyperbolisches und ein elliptisches Kreisbüschel mit den Brennpunkten als Grundpunkten: die Quartik ist wieder Winkelhalbierende und einer der beiden winkelhalbierenden Kreise ist ein die Quartik doppelt-berührender Kreis. Für Mittelpunkt-Kegelschnitte ist bekannt, dass die Tangenten Winkelhalbierende der Brennstrahlen sind: die Tangenten können möbiusgeometrisch als doppelt-berührende "Kreise" gelten. Darüber hinaus gibt es die doppelt-berührenden achsensymmetrischen Kreise! Die doppelt-berührende Kreise spielen eine zentrale Rolle bei der Suche nach Kreisen auf Darboux Cycliden!
Zu Details und Begründungen: geogebrabook Moebiusebene Speziell zu den einzelnen bizirkularen Quartiken: Kapitel Hermite Abbildungen und bizirkulare Quartiken

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