Recta de Euler perpendicular a la bisectriz
La recta de Euler de un triángulo es perpendicular a la bisectriz de uno de sus ángulos si y sólo si éste es de 60º.
1)
El circuncentro M y el ortocentro H son conjugados isogonales , por lo que los segmentos y forman ángulos iguales con la bisectriz bA. Sin necesidad de recurrir al concepto de conjugado isogonal, es fácil ver que estos ángulos son iguales, pues si F es el pie de la altura hC, los ángulos y son iguales por ser sus lados respectivamente perpendiculares, por lo que el ángulo es el complementario del . Por otra parte, en la circunferencia w circunscrita al triángulo , el ángulo central es igual al doble del inscrito , por lo que los dos ángulos iguales del triángulo isósceles miden . Si N es el punto medio de M y H, se deduce que los ángulos y son iguales.
Si E es el pie de la altura hB, el triángulo es semejante al , pues lo son los tres que delimita el triángulo órtico, cuyos vértices son los pies de las alturas del triángulo . Esto se establece fácilmente considerando las circunferencias que tienen a cada lado como diámetro y que, por tanto, pasan por los pies de las alturas sobre los otros lados.
Entonces, (y que , pero por lo anterior basta con una de las dos). La circunferencia wA circunscrita al triángulo tiene entonces la mitad de diámetro que la w. Es decir, que el diámetro de wA tiene la misma magnitud que el radio MA de w. Pero AH es un diámetro de wA puesto que en el cuadrilátero los ángulos y son rectos.
Por tanto , lo que junto a la igualdad de los ángulos que forman estos segmentos con la bisectriz hacen al triángulo isósceles y perpendicular a bA.
2)
Se tiene que el triángulo es isósceles, dada la isogonalidad de M y H, por lo que . Pero AH es el diámetro de wA, por lo que la razón de semejanza entre los triángulos y es , con lo que y .
El punto N es el centro de la circunferencia de los nueve puntos, que es la circunferencia podal de M y H (la circunferencia podal de un punto pasa por los pies de las perpendiculares a los lados trazadas por el punto). Esto ocurre siempre con cualquier par de puntos conjugados isogonales: comparten circunferencia podal, cuyo centro es el punto medio de los dos.
Si el punto N también se halla en la circunferencia wA, al ser recto .