Punktsymmetrie zum Ursprung
Eine weitere besondere Form der Symmetrie ist die Punktsymmetrie zum Ursprung. Du hast dir im Kapitel zur Achsensymmetrie schon Gedanken zu den Potenzfunktionen gemacht und dich daran erinnert, dass die Graphen von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung sind. Im Folgenden werden wir uns auf die Suche nach einem allgemeinen Ansatz machen, um Punktsymmetrie zum Ursprung rechnerisch nachweisen zu können.
Aufgabe:
Gegeben ist ein zum Ursprung punksymmetrischer Graph einer Funktion .
Verfolge die Schritte mithilfe des GeoGebra Applets nach, indem du nur die Schritte 1 bis 4 nach und nach aktivierst.
1. Schritt: Betrachte einen Punkt und seinen Spiegelpunkt . Welche -Werte haben die Punkte? Verallgemeinere deine Beobachtung für alle Punkte und ihre Spiegelpunkte.
2. Schritt: Im Allgemeinen hat ein Punkt also den -Wert , sein Spiegelpunkt den Wert .
Welche -Werte haben die beiden Punkte?
3. Schritt: Die Beiden Punkte haben betragsmäßig den gleichen -Wert. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
4. Schritt: Erkläre, wie sich die graphischen Beobachtungen auch in der Wertetabelle widerspiegeln.
Betrachte auch das 2. Beispiel.
Da wir im letzten Kapitel bereits gesehen haben, dass eine rein graphische Lösung nicht hinreichend ist, suchen wir direkt nach einem rechnerischen Ansatz.
Aufgabe 2:
a) Aktiviere nun "Herleitung 1" im Applet oben. Überlege dir, wie die Punkte bzw. aus den Punkten bzw. entstehen. (Lösung unten)
b) Aktiviere "Herleitung 2" und überlege erneut, wie die Punkte bzw. aus bzw. hervorgehen. (Lösung unten)
c) Stelle einen allgemeinen Ansatz mithilfe deines Wissens aus den Teilaufgaben a) und b) auf.
Hinweis: Orientiere dich am Ansatz aus dem Kapitel "Achsensymmetrie zur -Achse".
Problem:
Wie zeigen wir, dass weder Achsensymmetrie zur -Achse noch Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt?
Lösung:
Wir nutzen ein Gegenbeispiel.
Sei die Funktion erfüllt offensichtlich keine der beiden Symmetrien. Wir zeigen dies rechnerisch, indem wir einen beliebigen -Wert und dessen Gegenzahl einsetzen.
und
Somit ist weder noch erfüllt, da diese Beziehungen ja für alle -Werte gelten müssen.
Merke:
Für den Nachweis, dass keine Achsensymmetrie zur -Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt, muss ein Gegenbeispiel geliefert werden.
Ein weiteres Arbeitsblatt wartet darauf, mit Wissen gefüllt zu werden! ;-)
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