６。直線と直線
１．直線上の点と位置
＜２点の距離＞
点Pのｘ座標をx(P),ｙ座標をy(P)と表す。（geogebraではこれが使えます）
２点PQのｘ座標の差をdx(PQ）とかくとしたら、dx(PQ)=|x(P)-x(Q)|となる。
同様にして、dy(PQ)=|y(P)-y(Q)|
２点A(ax,ay),B(bx,by)があるとき線分ABの長さは
線分ABの傾きは(y(P)-y(Q))/(x(P)-x(Q))
(例）３直線L,M,Nにかこまれる三角形の面積を求めよう。
L:3x-y=1, M:2x+y=9, N:x+y=3。
連立して求めた３交点をもとめる。
LMからA(2,5),MNからB(6,-3),NLからC(1,2)となる。
AB²=(2-6)²＋(5+3)²=80, CB²=(6-1)²＋(-3-2)²=50 AC²=(2-1)²＋(5-2)²=10
AB2+CB2-AC2=80+50-10=120、AB･AC＝2√(80×50)=20√10
角ABC＝θとすると、cosθ＝120/40√10=、
よってsinθ＝=。
三角形ABCの面積＝1/2AB･ACsinθ＝
※3点の座標が具体的に求められときは、小中学生の面積の出し方の方が速い。
しかし、座標が複雑でも辺の長さが簡単になるときや、
座標が変数になって、位置関係があいまいになるときには役立つでしょう。
＜３点の位置と比＞
ｘ軸上の３点、a,p,bが正の数のとき、
A(a,0),P(p,0),B(b,0)でAP:PB=|p-a|:|b-p|=m:n（ｍ，ｎは正）とする。
・Pが内分点のときPB＝b-pになるから、(p-a):(b-p)=m:nとなる。np-na=mb-mp
(n+m)p=mb+naとなるから、(比と点位置がたすきがけになる。）
・Pが外分点でm>nのときは、
PB＝-(b-p)となる。内分の式のmかｎを負にした比例式になる。
式の整理をしてもこれは引きずるから、最後の式のnを-nにする。
一般の内分、外分は、座標ごとに上記の式を使えば良い。
・PがABの中点になるとき、m=n=1になる内分になるから
重心の位置は、x軸では３つの座標の平均になり、ｙ軸も同様。
（例）平行四辺形ABCDの３点の座標A(2,2),B(3,0),D(-1,1)からCの座標を求めよう。
C(x,y)として、ACの中点の座標とBDの中点の座標が等しいことを使う。
だから、座標の和も等しい。
BDの中点（3-1)/2=1,(0+1)/2=1/2から(1, 1/2)。
ACの中点(2+x)/2=1, (2+y)/2=1/2から、C(x,y)=(0,-1）。
２．直線の傾きと方程式
＜直線の方程式＞
・2点A(ax,ay),B(bx,by)を通る直線の式は
（理由）
線分ABの傾き(y(A)-y(B))/(x(A)-x(B))をもつ比例のグラフを
点Aか点Bを通るように平行移動するから。
（例）平行四辺形ABCDの３点の座標A(2,2),B(3,0),D(-1,1)からCの座標を求めよう。
点Dを通り傾きABの直線の式は(y-1)=(x+1)(2-0)/(2-3)から、y=-2x-1
点Bを通り傾きADの直線の式はy=(x-3)(2-1)/(2-(-1))から、y=1/3x-1。
２式を連立して、x=0、代入してy=-1となる。C(0,-1)
（例）直線(k+1)x+(k-1)y-3k-1=0がｋの値によらず通る定点の座標は？
k=1としてx=2。k=-1としてy=1。定点C＝(2, 1)。
式変形により、(1-k)(y-1)=(1+k)(x-2)となり、
点C通過の直線であると十分言える。
（別解）ｋについて整理すると、k(x+y-3)+(x-y-1)=0で、
Cはx+y-3もx-y-1も0にするから２直線の交点。
このことを使って、k･0+0=0となるx,yが定点の座標であるという求め方もある。
３．直線と距離
＜２直線の平行と垂直＞
・y=mx+p,ｙ＝nx+qの位置関係
平行ならば傾きは等しいからm=n。
垂直ならば傾きが逆数で符号が逆だから、積が−１となり、n=ー１/m。
・ax+by+p=0とcx+dy+q=0の位置関係。
陽関数に治すと、傾きｍ＝-a/b, m=-c/d。
平行ならばa/b=c/dから、ad-bc=0。（c:d=a:b）
垂直ならば-a/b・-c/d=-1から、ac+bd=0（c:d=b:(-a)）
＜点と直線の距離＞
・点P(m,n)を通り直線l:ax+by+c=0と垂直な直線は
（理由）
lの傾きが-a/bだから、逆数の逆符号でb/aとなる。
点Pの座標を代入して0=0になるようにする。
・点P(m,n)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の長さは
（理由）
ｌ上にある垂線の足を点Q(q,r)とする。
PQを通る直線の式はで、
Qの座標を代入するととなる。
だから、 PQ=。
一方、直線l（y=-c/b-a/b x）と直線PQ（ y=b/a(x-m)+n）の交点のｘ座標は、
q=。
これを代入・整理して、。
したがって、PQ=。
(例）３直線L,M,Nにかこまれる三角形の面積を求めよう。
L:3x-y=1, M:2x+y=9, N:x+y=3。
連立して求めた３交点をもとめる。
LMからA(2,5),MNからB(6,-3),NLからC(1,2)となる。
Aから直線Nまでの距離AHは
CB²=(6-1)²＋(-3-2)²=50から、BC=
三角形ABCの面積＝1/2・BC・AH＝。
※余弦定理を使うよりは、辺の長さの計算が１回ですみ、高さも素早く出せるので役立つ。