Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych
Można pokazać, że jeśli jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych i , to .
Zauważmy też, że dla każdego funkcja jest funkcją kwadratową o współczynnikach rzeczywistych (uzasadnienie poniżej).
W konsekwencji oznacza, to dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych da się rozłożyć na czynniki liniowe i kwadratowe.
Uzasadnienie:
Przykład 3.3
Zapiszemy wielomian określony wzorem w postaci czynnikowej w dziedzinie rzeczywistej i zespolonej.
Z powyższych obliczeń wynika, że w dziedzinie zespolonej dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe:
,
zaś w dziedzinie rzeczywistej na czynnik liniowy i kwadratowy:.
Przykład 3.4
Zapiszemy wielomian określony wzorem w postaci czynnikowej w dziedzinie rzeczywistej i zespolonej.
Z powyższych obliczeń wynika, że w dziedzinie zespolonej dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe (niektóre występują wielokrotnie):
,
zaś w dziedzinie rzeczywistej na czynnik liniowy i dwa kwadratowe:.
Ćwiczeni.
Podaj przykład wielomianu stopnia piątego o współczynnikach rzeczywistych, który posiada
a) dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty,
b) dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste.