Schnittstellen mit den Koordinatenachsen
Schnittstellen mit der x-Achse
Einen x-Wert, bei dem der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet, nennt man eine Nullstelle der Funktion.
Die Nullstellen der oben abgebildete Funktionen lauten x1 = 1 und x2 = 3.
Warum der Name Nullstelle?
Weil bei einem x-Wert, bei dem der Graph die x-Achse schneidet, der Funktionswert gleich 0 ist!
Der Graph verläuft nämlich dort, wo er die x-Achse schneidet, auf der Höhe von y = 0. Das wiederum bedeutet, dass bei diesem x-Wert der Funktionswert gleich 0 ist.
Es gilt also: für x1 ist f(x1) = 0 <=> x1 ist Nullstelle der Funktion f
Nullstellen berechnen
Mit dieser Erkenntnis kann man leicht berechnen, "was die Nullstellen einer Funktion sind", d.h. bei welchen x-Werten der Graph der Funktion die x-Achse schneidet.
Angenommen die Funktion lautet f(x) = 4x – 1.
Die Nullstellen der Funktion f sind die x-Werte, für die
f(x) = 0 ist,
d.h. für die 4x – 1 = 0 ist.
Wir lösen die Gleichung nach x auf und erhalten:
4x = 1
x = 0,25
Die Funktion f(x) = 4x – 1 hat also eine Nullstelle und zwar bei x = 0,25.
Die Nullstellen der oben abgebildete Funktionen lauten x1 = 1 und x2 = 3.
Warum der Name Nullstelle?
Weil bei einem x-Wert, bei dem der Graph die x-Achse schneidet, der Funktionswert gleich 0 ist!
Der Graph verläuft nämlich dort, wo er die x-Achse schneidet, auf der Höhe von y = 0. Das wiederum bedeutet, dass bei diesem x-Wert der Funktionswert gleich 0 ist.
Es gilt also: für x1 ist f(x1) = 0 <=> x1 ist Nullstelle der Funktion f
Nullstellen berechnen
Mit dieser Erkenntnis kann man leicht berechnen, "was die Nullstellen einer Funktion sind", d.h. bei welchen x-Werten der Graph der Funktion die x-Achse schneidet.
Angenommen die Funktion lautet f(x) = 4x – 1.
Die Nullstellen der Funktion f sind die x-Werte, für die
f(x) = 0 ist,
d.h. für die 4x – 1 = 0 ist.
Wir lösen die Gleichung nach x auf und erhalten:
4x = 1
x = 0,25
Die Funktion f(x) = 4x – 1 hat also eine Nullstelle und zwar bei x = 0,25. Aufgabe
Gegeben ist die Funktion Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion.
Lösung
Die Nullstellen der Funktion sind die Lösungen der Gleichung f(x) = 0.
d.h. hier der Gleichung
Umformen ergibt:
Diese Gleichung hat zwei Lösungen: und .
Die Funktion hat damit zwei Nullstellen: .
Hier der Graph der Funktion:
Aufgabe
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion .
Lösung
Die Berechnung der Nullstellen führt auf die Gleichung
Diese Gleichung hat keine Lösung!
D.h. die Funktion schneidet die x-Achse nicht.
Das zeigt sich am Graphen:
Der Graph nähert sich für wachsende x-Wert zwar immer näher der x-Achse an, erreicht sie aber nie, da der Term 1/x auch für noch so grosse x-Wert immer einen Wert grösser als 0 besitzt.
Der Graph nähert sich für wachsende x-Wert zwar immer näher der x-Achse an, erreicht sie aber nie, da der Term 1/x auch für noch so grosse x-Wert immer einen Wert grösser als 0 besitzt.Schnittstellen mit der y-Achse
Die Stelle, bei der der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet, kann man leicht bestimmen!
Sie ist nämlich gleich der Höhe des Graphen x = 0 und ist damit gleich dem Funktionswert bei x = 0.
Es gilt also:
Schnittstelle mit der y-Achse = f(0)
Wir berechnen, wo die Funktion f(x) = 4x – 1 die y-Achse schneidet.
Schnittstelle mit der y-Achse = f(0) = 4·0 – 1 = 0 – 1 = –1.
Der Graph der Funktion f(x) = 4x – 1 schneidet die y-Achse also bei y = –1.
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion Wo schneidet der Graph die y-Achse?
Lösung
Die Schnittstelle mit der y-Achse ist gleich dem Funtionswert bei x = 0:
Schnittstelle mit y-Achse =
Aufgabe
Bestimmen Sie für die Funktion die Schnittstelle mit der y-Achse.
Lösung
Die Berechnung der Schnittstelle mit der y-Achse führt auf die Berechnung:
Schnittstelle mit der y-Achse =
Die Division durch 0 ist nicht definiert: d.h. es gibt keine Schnittstelle mit der y-Achse.
Das zeigt sich am Graphen:
Je nach dem von welcher Seite man sich der Stelle x = 0 nähert, strebt der der Funktionswert gegen minus oder plus unendlich: Für x = 0 ist kein Funktionswert ermittelbar.
Je nach dem von welcher Seite man sich der Stelle x = 0 nähert, strebt der der Funktionswert gegen minus oder plus unendlich: Für x = 0 ist kein Funktionswert ermittelbar.