Astroide
Descripción: Describe la curva astroide, un caso particular de hipocicloide, dentro de la familia de curvas cicloides. Manuel Sada Allo
Se genera por un punto de una circunferencia que rueda en el interior de otra de radio cuatro veces mayor:
También se genera por un punto de una circunferencia que rueda en el interior de otra cuyos radios están en relación 3/4:
Es la envolvente de los segmentos de longitud fija cuyos extremos se deslizan por los ejes de coordenadas.
También es la envolvente de las cuerdas de un círculo cuando los extremos de la cuerda recorren la circunferencia en sentidos opuestos y uno a velocidad el triple que el otro:
Y la envolvente de las elipses cuya suma de semiejes es constante:
Y la envolvente de los diámetros de un círculo rodando en el interior de otro de doble radio:
En cuanto a la evoluta de una astroide: ¿cuál es la curva envolvente de la familia de rectas normales?
Experimentemos con las podarias a una astroide (la podaria de una curva respecto de un punto fijo P es el lugar geométrico de los puntos de corte entre cada tangente a la curva y su perpendicular por P):
¿Cómo será la podaria a una astroide respecto de su centro? ¿Y respecto de un vértice? ¿Y...? Desliza el punto P y observa:
La antipodaria de una curva respecto de un punto P es la envolvente de las perpendiculares por cada punto Q de la curva a los correspondientes segmentos PQ. Comprueba cuál es la antipodaria del cuatrifolium respecto a su centro:
La caústica de una curva respecto de un punto P es la envolvente de los rayos reflejados por la curva a los lanzados desde P.
Si los rayos lanzados son paralelos entre sí, la envolvente de sus reflejos es otro tipo de caústica:
Comprueba cuál es la caústica de una deltoide: