Semelhança de triângulos
O triângulo é o polígono mais explorado na geometria. A sua aplicação em problemas práticos remonta há muitos séculos, isso se deve ao fato de ser o único polígono rígido (isto é, não permite movimento em suas junções), o que favorece sua aplicação em vários tipos de construções, por exemplo em pontes e estruturas rígidas. Acabamos de verificar as condições necessárias para estabelecer a semelhança entre duas figuras quaisquer. Para o caso de triângulos, veremos que basta apenas analisar alguns critérios para que possamos identificar a semelhança.
Noção intuitiva
A construção abaixo apresenta 4 triângulos semelhantes: T, T1, T2 e T3. Coloque o triângulo T1 sobre o triângulo T de modo que dois lados de mesma cor fiquem sobrepostos. Agora responda: o que aconteceu com os lados que não ficaram sobrepostos?
O mesmo acontece se repetirmos o procedimento para os outros dois triângulos T2 e T3?
Questão 01
A construção abaixo mostra um triângulo ABC intersectado por uma reta paralela ao lado AC. Os pontos A, B, C e D podem ser deslocados modificando seus lados e ângulos. Agora responda:
(a) Ao intersectar dois lados do triângulo ABC, a reta determina um novo triângulo. Você consegue identificá-lo? Se sim, indique seus vértices.
(b) Agora desloque o ponto D e responda: embora os triângulos EBD e ABC apresentem tamanhos diferentes, eles possuem a mesma forma? Isto é, eles são semelhantes?
Questão 02
Na construção abaixo o ângulo preto é comum aos triângulos ABC e DBE. Ao movimentarmos o ponto E até que a reta g torne-se paralela ao lado AC, tornamos os triângulos ABC e DBE semelhantes, como visto nas questões anteriores. Diante dessa afirmação responda: o que acontece com o par de ângulos laranjas neste caso?
Questão 03
Os dois triângulos na construção abaixo são semelhantes pelo caso AA. Observe que ao ativar a opção Reflexão obtemos uma reflexão do triângulo menor em relação a um de seus lados. Com essa opção desativada tente sobrepor os ângulos azuis.
Feito isto, os lados que não ficaram sobrepostos ficaram paralelos? E se a opção reflexão for ativada?
Questão 04
Escolha uma posição fixa para o ponto D sobre o lado BC na construção abaixo.
Preencha a primeira coluna da tabela 02 com as medidas dos lados do triângulo ABC, a segunda coluna com as medidas dos lados correspondentes do triângulo EBD e a terceira coluna, com os valores das razões entre as medidas desses lados. O que você observou na terceira coluna? Compare seus resultados com os de seus colegas.
Mais Um Caso de Semelhança
Todas as construções acima referentes a triângulos mostraram que quando uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intersecta os outros dois lados, determinando um novo triângulo, este será semelhante ao triângulo original. Na última construção tínhamos exatamente esta situação, pois os segmentos ED e AC são paralelos, ou seja, os triângulos eram semelhantes. Nela você observou que a razão entre as medidas dos lados correspondentes dos dois triângulos é constante, ou seja, os três pares de lados correspondentes são proporcionais. A recíproca é também verdadeira, ou seja, se os três pares de lados forem proporcionais, os triângulos serão semelhantes. Esse é mais um critério de semelhança, conhecido como LLL (lado - lado- lado). Outro caso de semelhança de triângulos bastante conhecido é o LAL, no qual conhece-se a congruência de um par de ângulos e sabe-se que os pares de lados correspondentes que determinam esses ângulos são proporcionais.
A semelhança de triângulos é um importante tópico dentro da matemática, amplamente utilizado na resolução dos mais diversos tipos de problemas de geometria, desde os mais simples até os mais desafiadores. Munido destes critérios de semelhança, você agora também está apto para enfrentar estes desafios.