3 - Beispiel anhand der Aktivität "Achsensymmetrie zur y-Achse"
Zusammenhänge erkennen und verstehen: Besitzt eine ganzrationale Funktion nur gerade Hochzahlen, so ist ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Arbeitsauftrag 1:
Das Applet zeigt einen zur y-Achse achsensymmetrischen Graphen einer Funktion .
Bewege den roten runden Punkt und erkunde die mathematischen Hintergründe dieser einfachen Symmetrie.
Drücke am Ende das Schloss, um das nächste Applet freizuschalten.Image by Vectorportal.com, CC BY
Arbeitsauftrag 2:
Sobald du das Applet oben bearbeitet hast, kannst du hier eine Tabelle freischalten.
Die Tabelle zeigt die Funktionswerte einer Funktion mit zur y-Achse achsensymmetrischem Graphen.
Ergänze dann die Tabelle sinnvoll. Arbeitsauftrag 3:
Nach Auftrag 1 und 2 kannst du hier das Applet von oben weiter bearbeiten.
SATZ:
Der Graph einer Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zu y-Achse, wenn für alle gilt:
Arbeitsauftrag 4:
Das Applet zeigt beispielhaft eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich geraden Hochzahlen:
Ziehe das aus auf das in .
Du kannst einen Term durch Doppeltippen auf den entsprechenden Teil des Terms vereinfachen. Vergleiche abschließend den Funktionsterm oben mit dem vereinfachten Term unten.MERKE: Der Graph einer Funktion beliebigen Typs ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn jede x-Potenz nur gerade Hochzahlen besitzt.Kurze Begründung: Der Term ist bei gerader Hochzahl stets positiv, also gleich . (z.B. und ) Damit gilt (wie oben schon erwähnt): genau dann, wenn der zugehörige Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist.