De bollen van Dandelin
Verband tussen 2D en 3D
Met een touwtje kan je een ellips tekenen als een vlakke kromme.
In de ruimte vind je een ellips terug als een kegelsnede. Maar zijn beide krommen wel aan elkaar gelijk?
In 1822 bewees Germinal Pierre Dandelin dat dit inderdaad zo is.
Een mooie beschrijving van dit bewijs vind je in het artikel De bollen van Dandelin door Jan Guichelaar, Paul Levrie en Rudi Penne. Onderstaande afbeelding komt uit dit artikel.
- Construeer binnen een kegel twee bollen en teken het raakvlak aan deze bollen. Dit raakvlak bepaalt de gekende kegelsnede (E op de figuur).
- Dandelin bewees dat de raakpunten van het vlak met de twee bollen ook de brandpunten F1 en F2 zijn van een ellips, die overeenkomt met de kegelsnede E.
Onderstaand applet toont de bollen van Dandelin.
- Van een willekeurige driehoek zijn de ingeschreven cirkel en een aangeschreven cirkel getekend. Beide cirkels raken de groene zijde van de driehoek in de twee rode punten.
- Maak je in 3D van de driehoek een kegel en van de cirkels twee bollen, dan wordt: - de groene zijde een ellips - de rode snijpunten de brandpunten van deze ellips.