Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Klaslokaal

ntávolságtartó transzformáció

Olyan geometriai transzformáció, melyre bármely páros, pozitív n estén bármely két pont ntávolsága egyenlő a képeinek ntávolságával. Nevezzük negybevágósági transzformációnak is. A következőkben megvizsgáljuk, hogy a középiskolában tanult távolsági transzformációk negybevágósági transzformációk-e. Korábban láttuk, hogy a pont körüli forgatás bármely szög esetén nem negybevágósági transzformáció. Az ott látottak alapján sejthető, hogy tetszőleges centrumú szögű forgatás ntávolságtartó. Vizsgáljuk ezt a következő GeoGebra fájllal! (Érdemes mozgatni a pontokat.)
Ennek következménye, hogy noha az nszabályos háromszög létezése problémás, nszabályos négyszög (nnégyzet) bármely páros pozitív n-re létezik. Ha a tetszőleges centrumú szögű forgatás ntávolságtartó, akkor a egész számú többszöröseivel történő forgatás is az. Ebből következik az is, hogy a középpontos tükrözés ntávolságtartó, hiszen az a tükrözés centruma körüli szögű forgatás. Az, hogy az eltolás ntávolságtartó, az - szinte - nyilvánvaló. Ez azért van így, mert a két vizsgált pont megfelelő koordinátái ugyanannyival változnak, és így az ntávolság képletében szereplő koordinátakülönbségek változatlanok. Marad még a tengelyes tükrözés. Ennek vizsgálatához használható az alábbi GeoGebra fájl.
Úgy tűnik, hogy a tengelyes tükrözés nem ntávolságtartó.

Következmények:

Bármely páros, pozitív n estén,
  1. bármely paralelogramma szemközti oldalai egyenlő nhosszúak;
  2. bármely négyzet oldalai egyenlő nhosszúak.
Két ponthalmaz negybevágó, ha van olyan ntávolságtartó transzformáció, ami az egyiket a másikba átviszi.  3. Ha két ponthalmaz negybevágó, akkor a körüljárási irányuk azonos. Gyakorlásként érdemes meggondolni a fenti következmények bizonyítását, és - esetleg - újabb következményeket is kereshetünk.