Resumo e introdução
Esta atividade pertence ao livro de GeoGebra GeoGebra Principia.
Resumo
Desde o seu início, o GeoGebra foi projetado especificamente para mostrar a representação dual, gráfica e algébrica, dos objetos matemáticos. Nesta apresentação, com foco central, vou destacar alguns procedimentos que exploram as possibilidades didáticas dessa dualidade.
Esses procedimentos, apresentados a estudantes de 15 ou 16 anos, são tão simples, atraentes e rápidos de criar que permitem que os próprios alunos os gerem e utilizem do zero... com grande sucesso!
Apesar de sua simplicidade, veremos que são tão poderosos que nos permitem mergulhar em profundidades matemáticas praticamente inabordáveis na sala de aula do ensino médio sem a ajuda do GeoGebra, desde estruturas algébricas (como corpos) até métricas não euclidianas (como a distância do táxi).
- Nota: Todas las construcciones GeoGebra de este libro GeoGebra han sido realizadas por quien aquí las presenta. Ninguna de ella, salvo la construcción Bolhas, faz uso de programação JavaScript.
O autor
Em meus 40 anos de ensino como Professor de Ensino Médio, na busca por incentivar o interesse dos alunos, pesquisei a relação das Matemáticas com outras áreas tão diversas quanto Jogos 
, Percepção e Música . A chegada da Geometria Dinâmica trouxe novas e grandes oportunidades para atrair os estudantes e promover a criação de suas próprias construções.
Minha relação com o GeoGebra remonta a 2005, quando conheci este programa criado por Markus Hohenwarter [7], embora já tivesse trabalhado com outros programas de geometria dinâmica. Dois anos depois, em 2007, o professor Tomás Recio me convocou para o Centro Internacional de Encontros Matemáticos (CIEM , Cantábria) que reuniu, entre outros, vários professores de ensino médio espanhóis pioneiros no uso educacional da geometria dinâmica. Nessa reunião, defendi a eficácia do GeoGebra [10] em comparação com outros programas como o Cabri. Uma consequência desse encontro foi a formação do grupo G⁴D , composto por J.M. Arranz , J.A. Mora , M. Sada e eu.
Dois anos depois, a partir do Ministério da Educação da Espanha, Antonio Pérez , na época diretor do Instituto de Tecnologias Educacionais(ITE, hoje INTEF ), me encarregou de realizar cursos de formação em GeoGebra para professores do Ensino Fundamental e Médio [11, 13], bem como a criação de um conjunto de atividades completas (introdução ao tópico, construção a ser explorada e questionário) para os alunos, classificadas por temas e níveis, que denominamos Proyecto Gauss [14, 1]. Simultaneamente, Tomás lançou o primeiro Instituto GeoGebra em língua espanhola, o Instituto GeoGebra de Cantábria , do qual sou instrutor desde sua fundação.
Introdução
O principal objetivo desta conferência é mostrar a estreita relação entre procedimentos algébricos e geométricos usando o GeoGebra. Grande parte do tempo será dedicada à apresentação de atividades que podem ser abordadas por estudantes do ensino secundário por meio de construções feitas por eles mesmos. Além de poderem ser usadas esporadicamente para explorar conteúdos específicos, esse tipo de construção ganha todo o seu poder educacional em um ensino de matemática baseado na aquisição de competências.
Na primeira parte desta apresentação, detalharei procedimentos muito simples que exploram a forte interconexão entre geometria e álgebra que dá nome ao GeoGebra (daí o título de Principia) e permitem que estudantes do ensino secundário (por volta dos 15 ou 16 anos) realizem explorações matemáticas que, "em princípio", estão além de seu alcance, deixando as poderosas ferramentas do GeoGebra realizarem os cálculos álgebro-geométricos complexos, da mesma forma que atualmente deixamos calculadoras e folhas de cálculo realizar cálculos aritméticos complexos e tediosos.
Especificamente, a facilidade com que podemos criar retas e circunferências paralelas nos ajudará a construir um offset dinâmico cujo traço colorido permite visualizar uma variedade de lugares geométricos. Ao mesmo tempo, o CAS (Sistema de Álgebra Computacional), aplicado a distâncias euclidianas, nos auxiliará na criação de curvas implícitas que se ajustam a esses lugares. Também veremos como, em algumas ocasiões, essas curvas implícitas podem ser convertidas em equações e inequações.
Ampliaremos o uso do CAS para lidar com ângulos e também abordaremos outras distâncias não euclidianas, como a distância do táxi.
Encerraremos esta primeira parte com um exemplo recíproco, no qual recorrer à geometria nos ajudará a visualizar e manipular os conceitos e propriedades inerentes à estrutura algébrica de um corpo.
Na segunda parte, apresentarei algumas ideias para realizar construções um pouco mais sofisticadas, mas não menos atrativas, que podem servir como modelos a serem analisados ou modificados pelos alunos.
Primeiro, veremos como as listas no GeoGebra facilitam a incorporação de uma grande quantidade de dados. Como exemplo, representaremos a linha costeira dos continentes em uma única lista, criando um modelo da Terra.
Em seguida, usaremos vetores para modificar instantaneamente a posição dos pontos de acordo com nossos interesses, graças aos scripts do GeoGebra. Esses vetores podem ser usados para combinar forças repulsivas (como partículas com a mesma carga), forças atrativas (como as usadas por Newton para formular sua lei da gravitação universal) ou simplesmente forças reativas (como em colisões elásticas).
Além disso, podemos usar vetores para criar uma "geometria elástica". Nessa abordagem, os pontos não têm uma posição definida, mas sua posição em cada momento é o resultado da aplicação das forças mencionadas. Por exemplo, na geometria elástica, um ponto não "está" em uma circunferência, mas é irresistivelmente atraído por ela, tendo "seu limite" nela.
Por fim, como aplicação desse tipo de geometria elástica, veremos exemplos de construção de tensegridades.
, Percepção e Música . A chegada da Geometria Dinâmica trouxe novas e grandes oportunidades para atrair os estudantes e promover a criação de suas próprias construções.
Minha relação com o GeoGebra remonta a 2005, quando conheci este programa criado por Markus Hohenwarter [7], embora já tivesse trabalhado com outros programas de geometria dinâmica. Dois anos depois, em 2007, o professor Tomás Recio me convocou para o Centro Internacional de Encontros Matemáticos (CIEM , Cantábria) que reuniu, entre outros, vários professores de ensino médio espanhóis pioneiros no uso educacional da geometria dinâmica. Nessa reunião, defendi a eficácia do GeoGebra [10] em comparação com outros programas como o Cabri. Uma consequência desse encontro foi a formação do grupo G⁴D , composto por J.M. Arranz , J.A. Mora , M. Sada e eu.
Dois anos depois, a partir do Ministério da Educação da Espanha, Antonio Pérez , na época diretor do Instituto de Tecnologias Educacionais(ITE, hoje INTEF ), me encarregou de realizar cursos de formação em GeoGebra para professores do Ensino Fundamental e Médio [11, 13], bem como a criação de um conjunto de atividades completas (introdução ao tópico, construção a ser explorada e questionário) para os alunos, classificadas por temas e níveis, que denominamos Proyecto Gauss [14, 1]. Simultaneamente, Tomás lançou o primeiro Instituto GeoGebra em língua espanhola, o Instituto GeoGebra de Cantábria , do qual sou instrutor desde sua fundação.
Introdução
O principal objetivo desta conferência é mostrar a estreita relação entre procedimentos algébricos e geométricos usando o GeoGebra. Grande parte do tempo será dedicada à apresentação de atividades que podem ser abordadas por estudantes do ensino secundário por meio de construções feitas por eles mesmos. Além de poderem ser usadas esporadicamente para explorar conteúdos específicos, esse tipo de construção ganha todo o seu poder educacional em um ensino de matemática baseado na aquisição de competências.
Na primeira parte desta apresentação, detalharei procedimentos muito simples que exploram a forte interconexão entre geometria e álgebra que dá nome ao GeoGebra (daí o título de Principia) e permitem que estudantes do ensino secundário (por volta dos 15 ou 16 anos) realizem explorações matemáticas que, "em princípio", estão além de seu alcance, deixando as poderosas ferramentas do GeoGebra realizarem os cálculos álgebro-geométricos complexos, da mesma forma que atualmente deixamos calculadoras e folhas de cálculo realizar cálculos aritméticos complexos e tediosos.
Especificamente, a facilidade com que podemos criar retas e circunferências paralelas nos ajudará a construir um offset dinâmico cujo traço colorido permite visualizar uma variedade de lugares geométricos. Ao mesmo tempo, o CAS (Sistema de Álgebra Computacional), aplicado a distâncias euclidianas, nos auxiliará na criação de curvas implícitas que se ajustam a esses lugares. Também veremos como, em algumas ocasiões, essas curvas implícitas podem ser convertidas em equações e inequações.
Ampliaremos o uso do CAS para lidar com ângulos e também abordaremos outras distâncias não euclidianas, como a distância do táxi.
Encerraremos esta primeira parte com um exemplo recíproco, no qual recorrer à geometria nos ajudará a visualizar e manipular os conceitos e propriedades inerentes à estrutura algébrica de um corpo.
Na segunda parte, apresentarei algumas ideias para realizar construções um pouco mais sofisticadas, mas não menos atrativas, que podem servir como modelos a serem analisados ou modificados pelos alunos.
Primeiro, veremos como as listas no GeoGebra facilitam a incorporação de uma grande quantidade de dados. Como exemplo, representaremos a linha costeira dos continentes em uma única lista, criando um modelo da Terra.
Em seguida, usaremos vetores para modificar instantaneamente a posição dos pontos de acordo com nossos interesses, graças aos scripts do GeoGebra. Esses vetores podem ser usados para combinar forças repulsivas (como partículas com a mesma carga), forças atrativas (como as usadas por Newton para formular sua lei da gravitação universal) ou simplesmente forças reativas (como em colisões elásticas).
Além disso, podemos usar vetores para criar uma "geometria elástica". Nessa abordagem, os pontos não têm uma posição definida, mas sua posição em cada momento é o resultado da aplicação das forças mencionadas. Por exemplo, na geometria elástica, um ponto não "está" em uma circunferência, mas é irresistivelmente atraído por ela, tendo "seu limite" nela.
Por fim, como aplicação desse tipo de geometria elástica, veremos exemplos de construção de tensegridades.Autor da atividade e construção GeoGebra: Rafael Losada.