Parametrizações
Parametrização de uma superfície cilíndrica
Uma superfície Cilíndrica é um corpo ou superfície formado por um conjunto de retas paralelas, estas geradas por um ponto pertencente a uma curva em um plano e um vetor diretor que não está contido no plano . A curva é denominada diretriz, enquanto as retas são chamadas de geratrizes. Ou seja, podemos definir uma superfície cilíndrica de diretriz e geratrizes paralelas ao vetor como o seguinte conjunto:
A seguir, apresentamos nos applets uma curva diretriz, um vetor paralelo as geratrizes e a superfície cilíndrica gerada.
Vamos demonstrar esse conceito através de alguns exemplos.
Vamos aplicar os conceitos já apresentados. Através da curva diretriz e do vetor diretor das geratrizes, determine a equação paramétrica da superfície e esboce-a.
Exemplo 1: Parametrização do cilindro circular reto
Consideramos o círculo sobre o plano de centro a origem e raio como a curva diretriz e
, o vetor paralelo às geratrizes.
Uma parametrização de é dado por:
Uma parametrização do cilindro circular reto vem dado por:
Caso particular com R=1.
Seja uma curva e uma reta contida num plano .
A superfície de revolução de geratriz e eixo de revolução é a superfície descrita pela rotação da
curva em torno da reta .
Suponha que a curva se encontra no plano e queremos fazer a rotação da curva ao redor do eixo
.
Suponha também que a curva tem a seguinte parametrização:
Em um plano tomamos o ponto P o qual gira em torno do eixo fazendo um certo ângulo sendo assim o ponto no mesmo plano. Agora precisamos encontrar as coordenadas de .
Segundo o desenho temos que:
assim
logo, a parametrização da superfície obtida ao fazer a rotação da curva do plano ao redor do
eixo será:
onde e
Exemplo 2: A esfera
Consideramos o círculo de raio e centro na origem no plano e fazendo rotação ao redor do
eixo obteremos a esfera.
A parametrização do círculo é:
Aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo , obtemos:
onde e .
Exemplo 3: Toro
Para isso consideramos o círculo de raio e centro (0, 0, 0) no plano e fazendo a rotação ao
redor do eixo .
Chamamos à distância do centro ao eixo de rotação, assim temos o círculo de raio . Esta
superfície gerada por é chamada de toro.
A parametrização do círculo é:
aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo , a parametrização do toro será:
onde