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Integrales iteradas con dominio semicircular

Autor:GIE MAMI UPM
Una integral doble se puede calcular mediante integración iterada, aunque cuando el dominio no es rectangula los límites de las integrales interiores no tienen por qué ser constantes. Vamos a ver un ejemplo donde el dominio de integración es un semicírculo de radio centrado en el origen y cuyo diámetro está situado en el eje . Los bordes del semicírculo se escriben en términos de las variables e (variables de integración) como
    • el borde de la circunferencia con (en términos de ) o con si se escribe términos de ;
    • el segmento en la recta con .
Para calcular la integral de una función sobre el semicírculo, se puede barrer el semicírculo mediante segmentos horizontales de longitud variable. La longitud de cada segmento, depende de la altura a la que se encuentre. Por la elección del semicírculo que hemos hecho, cada segmento horizontal a altura se apoya en dos lados del semicírculo (el izquierdo y el derecho). En términos de las variables, se tiene (constante) y varía entre y (valores que se obtienen despejando de la ecuación considerando la solución positiva y la negativa. El semicírculo se barre complentamente variando la altura de (parte inferior) a (parte superior). Es decir, la integral sobre el semicírculo, , de la función se puede escribir como: . Nótese que ambos límites de la integral interior son límites variables en la variable y los límites de la integral exterior son constantes (no dependen ni de ni de ). De manera análoga se puede barrer el semicírculo con segmentos verticales de longitud variable. Estos segmentos se apoyan inferiormente en el segmento rectilíneo y superiormente en la semicircunferencia. En términos de las variables de integración en este caso (constante) y la variable está entre y donde el segundo límite se encuentra despejando la variable positiva en la ecuación de la circunferencia (con ). Para barrer el semicírculo completamente la tiene que variar entre y . En esta situación la integral doble se escribe. . En este caso, la integral interior solo tiene un límite variable que depende de , y como ha de ser, la integral exterior tiene límites constantes (que no dependen de las variables de integración).

Instrucciones:

Arriba a la derecha se ve el semicírculo, que es el dominio de integración. Abajo en azul está la gráfica de definida en ese dominio. Arriba a la izquierda, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a x" aparece con el valor indicado por el deslizador verde, a la derecha se ve sobre el semicírculo y el segmento horizontal rojo a esa altura y en la parte de abajo de la construcción se aprecia la gráfica de la función (con constante y entre y ). La zona coloreada en rojo que aparece bajo la gráfica de representa la integral interior y el plano azul es el plano . Al variar con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. De forma análoga, al marcar la casilla "Integración primero con respecto a y" aparece con el valor indicado por el deslizador rojo, a la derecha el segmento vertical en el dominio, y abajo la gráfica de la función (con constante e entre y ). La zona coloreada en verde bajo la gráfica de representa la integral interior y el plano azul es ahora el plano . Al variar con el deslizador va variando la zona coloreada y su integral. La función , se puede introducir en las casillas de entrada y el radio del semicírculo se puede cambiar con el deslizador azul.

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