Reihenentwicklung von cosh
VI. Vergleich Kettenlinie - Parabel
Reihenentwicklung der cosh-Funktion
1. Kettenline ersetzen durch eine Parabel
Wir betrachten eine Kettenlinie, die durch die Aufhängepunkte A(-c|h) und B(c|h) verläuft. Die Funktionsgleichung ist
, oder mit
Die Form der Kette wird mit dem Schieberegler für a verändert.
Der Tiefpunkt der Kettenlinie ist S(xS,yS).
Durch die drei Punkte A, B und S ist auch eine Parabel (achsensymmetrisch zur y-Achse) eindeutig bestimmt.
Die Parabelgleichung ist allgemein
Aus der Achsensymmetrie folgt .
Die Parabel soll durch S verlaufen, also ist
Der Parameter wird durch bestimmt:
Nun ist aber h-yS gleich dem Durchhang d, und aus folgt .
Also lautet die Gleichung der Parabel, die durch A, B und C verläuft
Verändern Sie die Form der Kettenlinie mit dem Schieberegler für den Parameter a und bestätigen Sie:
Je weniger die Kette durchhängt, desto besser kann die Kettenlinie durch eine Parabel angenähert werden.
2. Reihenentwicklung für die Cosinus-hyperbolicus-Funktion
Die Kettenlinie kann auch anders als durch eine Parabel angenähert werden, nämlich durch ein Polynom.
Wegen der Achsensymmetrie muss der Grad des Polynoms gerade sein.
Da für die Exponentialfunktion gilt
gilt auch
In der Summe heben sich dann alle Summanden mit ungeradem Exponenten auf, und die mit geradem Exponenten treten zweimal auf:
Die einfachste (nicht-lineare) Näherung für die Kettenlinie ist daher
Eine etwas bessere Näherung für die Kettenlinie ist
und noch besser wäre
Im Applet oben können Sie sich diese Polynomfunktionen anzeigen lassen (sogenannte Taylor-Polynome). Mit dem Schieberegler für n können Sie die Anzahl der berücksichtigten Summanden verändern.
Die Kettenlinie kann mit diesen Polynomen um so besser angenähert werden, je höher der Grad des Polynoms ist.