ピタゴラス数から直角三角形の基本定理へ
赤い点と橙の点がピタゴラス数です。分布がわかります。どんどん縮小してみましょう。何が見えてくるでしょうか？
フェルマーの「直角三角形の基本定理」
ここで直角三角形の斜辺の数に着目して計算してみよう。
この数は偶数と奇数の平方数から求めることができる。⇒下の表
①斜辺の数は必ず二つの平方数の和であらわされる。（なぜだろう？）
例えば５＝１＋４，１３＝４＋９，２０＝４＋１６，・・・
②斜辺の数には素数も出てくる。
５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・
この素数はどういう素数だろうか？
③そうすると「４で割ると１余る素数は二つの平方数の和で組み立てられる」
ということが予想される。
これはフェルマーの「二平方定理」とも言われている ⇒ 二個の平方数の和 - Wikipedia
フェルマーはこうやって発見したのではないか。
素数表 念のために
斜辺のピタゴラス数 このピタゴラス数は必ず二つの平方数の和であらわされる。しかも一通りの和になる。このピタゴラス数が素数の場合に注目してみよう。どういう素数だろうか？
斜辺のピタゴラス数の求め方のサイトへ
ピタゴラス数 この方法（グノモンを使った）では、出てこないピタゴラス数がある。例えば２９。
⇒【すべてのピタゴラス数】
なお上の表で偶数の場合のピタゴラス数で、２，１０，２６，５０，８２，・・・について、
これは平方数も偶数であり、斜辺のピタゴラス数も偶数なので、もう一つのピタゴラス数も偶数となって
２で約分できるので既約ではない。よってこれは除く。
これ以外のピタゴラス数は４で割ると必ず１余る。
その証明は、
ａ２＋ｂ２＝ｃ２は、偶＋偶＝偶では既約でないので、奇＋遇＝奇の場合しかない。
一方（ｍ2－ｎ2)2＋(２ｍｎ)2＝(ｍ2＋ｎ2)2 なので、ｍとｎは偶数と奇数
(２ｍ)2＋(２ｎ＋１)2＝４ｍ2＋４ｎ2＋４ｎ＋１＝４(ｍ2＋ｎ2＋ｎ)＋１となり４で割ると１余る。
よって、
既約な直角三角形の斜辺のピタゴラス数は、平方数の和であり、４で割ると１余る。
この数の中には素数があるので、ピタゴラス数になる素数にも当てはまる。
では逆に「４で割ると１余る素数は平方数の和であらわされる」のではないだろうか？
これがフェルマーが予想した「直角三角形の基本定理」。