Vier Punkte in Normalform
Zu 4 verschiedenen Punkten in gibt es eine Möbiustransformation (gebrochen-lineare Funktion)
welche die Punkte auf 4 komplexe Bild-Punkte , mit einem geeigneten abbildet.
Die Bild-Punkte liegen punkt-symmetrisch zu den Punkte-Paaren .
Diese Lage nennen wir Normalform der 4 Punkte.
Sind die Punkte konzyklisch, so liegen die Bild-Punkte auf einer der Achsen oder auf dem Einheitskreis.
Liegen die Punkte spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen, so liegen die Bildpunkte ebenfalls spiegelbildlich
auf den Winkelhalbierenden. Man kann sie dann auch spiegelbildlich auf die Achsen legen - auch diese Lage
nennen wir Normalform.
Besitzen die ursprünglichen Punkte harmonische Lage, so sind die Bild-Punkte die Schnittpunkte
des Einheitskreises mit den Winkelhalbierenden.
Zum Nachweis konstruieren wir 3 paarweise orthogonale Kreise so, dass die ursprünglichen Punkte zu den Schnittpunkt-Paaren
dieser 3 Kreise punktsymmetrisch im Sinne der Möbiusgeometrie liegen.
Geometrisch ist diese Konstruktion ziemlich aufwändig. Rechnerisch findet man den Zusammenhang mit Hilfe der
LIE-Algebra der Möbiusgruppe durch einen sehr einfachen und kurzen Rechenweg (siehe unten!).
Die eigentliche Idee sowohl für die Konstruktion als auch für die Berechnung beruht auf dem Prinzip der wiederholten Symmetrisierung!
Zur Konstruktion: Die 4 Punkte können auf 3 verschiedene Arten in 2 Punkte-Paare zerlegt werden.
Beispielsweise bestimme man zu den Punkte-Paaren die Kreise und deren
Winkelhalbierenden-Kreise und , sowie die Kreise mit den zugehörigen
Winkelhalbierenden-Kreise und . 2 dieser 4 Winkelhalbierenden-Kreise schneiden sich nicht;
zu den beiden anderen Kreisen konstruieren man deren Winkelhalbierenden-Kreise (im Applet gelb!).
Diese Konstruktion läßt sich auf drei verschiedene Arten durchführen, wobei für 2 verschiedene Arten
jeweils 2 der entstehenden Winkelhalbierenden-Kreise identisch sind!
Es ergeben sich 3 paarweise orthogonale Kreise. Deren Schnittpunkt-Paare bilde man mit einer Möbiustransformation
ab auf die angegebenen Punktepaare , und .
Zur Berechnung: 2 Punkte (z.B. bestimmen ein elliptisches Kreisbüschel, deren Kreise man als Bahnkurven
einer Möbiusbewegung ansehen kann. Die zugehörige infinitesimale Bewegung deuten wir kurz als an.
Entsprechend sei gedeutet. Das LIE-Produkt gehört zu einer infinitesimalen Bewegung,
also elliptischen Kreisbewegung, deren Büschelpunkte harmonisch zu denen von und liegen.
Die LIE-Produkte sind paarweise "orthogonal", was geometrisch
bedeutet, dass die Grundpunkte-Paare auf 3 paarweise orthogonalen Kreisen liegen und die 4 vorgegebenen Punkte
zu diesen Grundpunkte-Paaren harmonisch, d.h. punktsymmetrisch liegen!
