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Introduzione ai logaritmi

Author:Ilic Ferretti
Topic:Logarithm
QUANDO L'ESPONENTE NON SI TROVA Nei problemi considerati finora i numeri erano "addomesticati" in modo che alla fine si riuscisse a trovare un esponente che desse il risultato cercato. Ovviamente in un problema reale questo non è sempre possibile, come nel seguente esempio. La mia pagina facebook ha 1250 like, e quando ne avrà 25000 vincerò il premio "reginetto del web". Se ogni mese i like sulla mia pagina triplicano quanto tempo dovrò aspettare? La funzione che permette di calcolare il numero di like dopo mesi è piuttosto semplice da trovare: Impostiamo l'equazione imponendo il valore finale richiesto ed isoliamo la potenza con l'incognita: Notiamo immediatamente che in questo caso NON riusciamo ad esprimere il ed il come potenze della stessa base, dato che il primo è un numero primo e l'altro è . La soluzione del problema è un esponente che applicato al dia come risultato . Come trovarlo? È necessario introdurre il concetto di logaritmo; vediamo l'animazione qui sotto.
In qualche modo abbiamo barato: ci serviva l'esponente che applicato alla base dà come risultato , ma per il momento invece di trovarlo ci siamo accontentati di dargli un nome. Ripercorriamo il ragionamento con più calma. Per quello che abbiamo detto sulla funzione esponenziale questo numero esiste. Un modo per trovarlo è andare per approssimazioni successive. Sappiamo che se , allora deve essere maggiore di , perchè (troppo piccolo) e minore di , perchè , che è troppo grande. Possiamo provare allora con , ricordandoci il significato di esponenti non interi: è ancora troppo poco, proviamo con ancora poco adesso è troppo; caliamo un po' e proviamo con ancora leggermente troppo ancora troppo, ma di poco: proviamo con ora aumentiamo un po': dobbiamo calare appena un po'; proviamo Ci stiamo avvicinando; potremmo continuare così all'infinito e trovare risultati sempre più simili al 20. Più che trovare il suo valore esatto forse è più importante poterlo definire in modo semplice e diretto per
  • poterci riferire a questa quantità in modo semplice
  • poterne studiare in modo agevole le proprietà, come svolgere delle operazioni con essa, etc.
DEFINIAMO il numero che applicato come esponente al 3 dà come risultato 20 come il logaritmo in base 3 di 20, e lo rappresentiamo con il simbolo (in modo simile "quel numero che elevato al quadrato dà 2" lo abbiamo chiamato "la radice di 2"; sappiamo che vale circa , ma invece di utilizzare questo valore approssimato ci riferiamo ad esso usando il simbolo ) Considerando il caso generale , vale la seguente nomenclatura:
  • è detta BASE del logaritmo
  • è il suo ARGOMENTO
[ovviamente se associamo una lettera al logaritmo per poterci poi riferire ad esso in seguito, per esempio scrivendo , è il LOGARITMO stesso, quindi non ha bisogno di altri nomi particolari.] Ma quanto vale la soluzione del nostro problema? Calcolare un logaritmo qualsiasi è un procedimento piuttosto complesso, come calcolare la radice di un numero qualsiasi, e quindi solitamente lo si fa attraverso la calcolatrice. Nel nostro caso si trova , quindi raggiungerò i 25000 like dopo circa 2 mesi e giorni. FARE CONOSCENZA CON I LOGARITMI Anche se molti logaritmi si ottengono attraverso la calcolatrice, sono elementi molto importanti, bisogna saperli manipolare con disinvoltura ed hanno delle loro proprietà che vanno sapute - fortunatamente sono strette parenti delle proprietà delle potenze, chi se lo sarebbe mai aspettato, dato che un logaritmo è un esponente? Ne riparleremo a tempo debito, ma fin da ora è molto importante imparare a calcolare e riconoscere i più semplici, in modo che il concetto sia ben compreso e saldo. Vediamo alcuni esempi. perché perché Visto da un altro punto di vista Un altro modo per vedere il concetto di logaritmo, e quindi per comprenderlo e farlo proprio, è notare che posso riscrivere qualsiasi numero in questo modo: Apparentemente molto complicata, questa scrittura afferma semplicemente che per ottenere un qualsiasi numero basta elevare una qualsiasi base ... all'esponente che devo dare ad per ottenere ! Questa scrittura mette anche in evidenza il fatto che un logaritmo è un esponente, mentre il suo argomento (in questo caso ) è [il risultato di] una potenza. Esempi più interessanti Ovviamente è interessante considerare i logaritmi, cioè gli ESPONENTI, un po' particolari legati alle applicazioni delle proprietà delle potenze (inutile dire che le proprietà dei logaritmi e quelle delle potenze sono strettamente collegate); abbiamo quindi che perché perché perché perché e così via. Cose utili da saper fare con i logaritmi... Allo stesso modo è utile saper stimare un logaritmo, ad esempio è un po' più di perché e quindi il ha bisogno di essere moltiplicato "un po' di più" per se stesso per arrivare a . È altrettanto utile saper esprimere un qualsiasi numero come logaritmo in una certa base. ESEMPIO Prendiamo il numero e scegliamo una base a caso, . Prova a rispondere a questa domanda: può essere visto come il logaritmo in base di... ??? ...! Infatti perché Ora cambiamo base. Lo stesso è il logaritmo in base di... ..., dato che . Si tratta di un altro buon modo per allenarsi con il concetto di logaritmo

ESERCITATI UN PO'

vale... (se la risposta è una frazione, scrivila come numero CON LA VIRGOLA)

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UNO MENO BANALE

vale... (se la risposta è una frazione, scrivila come numero CON LA VIRGOLA)

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NON CONFONDERTI

vale... (se la risposta è una frazione, scrivila come numero CON LA VIRGOLA)

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CERCHIAMO L'ARGOMENTO

vale... (se la risposta è una frazione, scrivila come numero CON LA VIRGOLA)

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La regola di cambio base L'altra applicazione necessaria è la regola del cambio base, perché alcune calcolatrici forniscono i logaritmi solo in due basi principali
  • il tasto "log" sottintende la base 10
  • il tasto "ln" (le lettere "ln" indicano Logaritmo Naturale) usa la base - si tratta di un numero irrazionale che vale circa e che ha importanti proprietà, similmente al , che scopriremo.
Se abbiamo bisogno di un logaritmo in base diversa, come nel nostro problema in cui cercavamo , dobbiamo prima cambiargli la base. Vale la seguente equivalenza, che approfondiremo più tardi quando studieremo a fondo i logaritmi: Se abbiamo un logaritmo in una base e lo vogliamo esprimere usando una nuova base qualsiasi , basta calcolare il rapporto tra due logaritmi nella nuova base, a numeratore con l'argomento originale ed a numeratore con argomento la vecchia base . Ad esempio volendo esprimere in base dovremo fare con la nostra calcolatrice: In attesa di dimostrare questa regola, possiamo vedere che funziona: la applichiamo in casi particolarmente semplici in cui passiamo tra basi che sono legate da una potenza. Ad esempio ci conferma che il valore di passando dal logaritmo di in base :

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