Equipo14:
Problema 14.
Determine el plano que contiene a la intersección de los planos
P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).
P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0
P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0
P1 + kP2 = 0
x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0
El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por
lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :
2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0
-1 + k (4) = 0
-1 + 4k = 0
-1 = - 4k
K =1/4
Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:
x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0
Simplificar la ecuación del plano:
4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0
6x + 3y – 3z – 6 = 0
P: 6x + 3y - 3z = 6
Problema 2 (pag. 324.)
Obtener una ecuación paramétrica de la recta de intersección de los pares de planos cuyas ecuaciones son:
P1: 2x – y + 3z = -1;
P2: 5x + 4y – z = 17
P (punto de intersección)ϵ P1 ⌃ P2
-> Formar sistema de ecuaciones con ecuaciones de los planos:
2x – y + 3z = -1
5x + 4y – z = 17
->Resolver el sistema:
(4)2x – y + 3z = -1
5x + 4y – z = 17
8x - 4y + 12z = -4
5x + 4y – z = 17
____________________
13x +11z = 13
->Hacer x = 1
13(1)+ 11z = 13
13+ 11z = 13
11z= 13-13
z =0
->Reemplazar x y z en P1 para obtener y.
2(1) – y + 3(0) = -1
2 –y + 0 = -1
-y = - 1 – 2
y = 3
P ( 1 , 3 , 0 ) punto de intersección
-> Hacer producto cruz de los vectores dados para obtener el vector director de la recta.
V= v1 x v2
V=(-11 , 17 , 13)
->Sustituir el vector director y punto de intersección:
x= 1-11t
L= y= 3+17t
z= 13t
Problema 2. (pagina 328)
En los ejercicios 1-6, encuentre las coordenadas del punto S de intersección de la recta y el plano cuyas ecuaciones se dan:
(x-1)/1=(y+2)/2=(z-3)/4 x+4y-z+5=0.
Ecuación simétrica:
(x-1)/1=(y+2)/2=(z-3)/4
Ecuación paramétrica:
x+4y-z+5=0
Observe primero que, de los números directores dados de la recta y de la ecuación dada del plano. Se deduce que la recta no es paralela al plano. Es decir:
(1,2,4)•(1,4,-1)=1+8-4≠0
x-1)/1=(y+2)/2=(z-3)/4
Despeje a x en (x-1)/1=(y+2)/2 en función de y para obtener x=(y+2)/2+1; Despéjese a z en (y+2)/2=(z-3)/4 en función de y para obtener z=2y+7.Estas ecuaciones establecen la relación que existen entre ‘x’ y ‘y’ para todo punto U(x,y,z) de la recta. En particular, se cumplen para el punto S de intersección de la recta y el plano.
Al sustituir los valores (y+2)/2+1 y 2y+7 de x y z respetivamente en las ecuaciones del plano se obtiene
–(y+2)/2+1+4y-(2y+7)=-5
–(y+2)/2+1+4y-2y-7=-5
–(y+2)/2+2y=1
–y=0
Finalmente sustituyendo a y por 0 en las ecuaciones x=(y+2)/2+1 y z=2y+7, se obtiene x=2 y z=7. Por lo tanto el punto S(2, 0, 7) es el único punto que esta tanto sobre la recta como el plano, y se puede verificar estas coordenadas que satisfacen las ecuaciones dadas. Por consiguiente el punto S(2,0,7) es el único punto de intersección.
Problema 2 (pagina 336)
Calcule la distancia del punto dado S de la recta cuyas ecuaciones se dan. (2)
S(2,3,1); x/-1=y-2/-2= z+1/2
1.-Obtener la ecuación vectorial.
L:{ (0, 2, -1) , t (-1, -2, 2)
2.-Obtener el vector dirección
v= (-1, -2, 2)
3.-Hallar un punto en la recta
p= (-t, 2 - 2t, -1 +2t)
4.-Restar S al punto de la recta obtenido (p)
d= (-t, 2-2t, -1+2t) - (2, 3, 1)
d= (-2-t, -1-2t, -2+2t)
5.-Multiplicar el vector dirección por el vector d, igualando a 0 ya que la distancia debe ser la mínima y ésta se encuentra cuando son perpendiculares
(-1, -2, 2) • (-2-t, -1-2t, -2+2t) = 0
2+t+2+4t -4+4t=0
9t=0
t=0
6.-Sustituir t en el vector d
d= (-2-(0), -1-2(0), -2+2(0))
d= (-2, -1, -2)
7.- Obtener el módulo de d
||d||= √(-2)²+(-1)²+(-2)²
||d||=√ 9
||d||=3
Realizado por:
* Vargas Ramírez Eduardo
* Rojas Juárez César
* Cortes Sánchez Erika Daniela
Problema 14.
Determine el plano que contiene a la intersección de los planos
P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).
P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0
P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0
P1 + kP2 = 0
x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0
El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por
lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :
2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0
-1 + k (4) = 0
-1 + 4k = 0
-1 = - 4k
K =1/4
Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:
x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0
Simplificar la ecuación del plano:
4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0
6x + 3y – 3z – 6 = 0
P: 6x + 3y - 3z = 6
Problema 14.
Determine el plano que contiene a la intersección de los planos
P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).
P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0
P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0
P1 + kP2 = 0
x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0
El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por
lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :
2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0
-1 + k (4) = 0
-1 + 4k = 0
-1 = - 4k
K =1/4
Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:
x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0
Simplificar la ecuación del plano:
4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0
6x + 3y – 3z – 6 = 0
P: 6x + 3y - 3z = 6
Problema 14.
Determine el plano que contiene a la intersección de los planos
P1: x+y-z=1 y P2: 2x-y+z=2 y pasa por el punto P(2,-1,1).
P1: A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0
P2: A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0
P1 + kP2 = 0
x + y– z – 1 + k (2x – y + z – 2) = 0
El punto P(2,-1,1) pertenece a la intersección de los planos, por
lo que los valores del punto se remplazan para encontrar el valor de k :
2 - 1 – 1 – 1 + k (4 + 1 + 1 – 2)= 0
-1 + k (4) = 0
-1 + 4k = 0
-1 = - 4k
K =1/4
Sustituir valor de K en la ecuación de la intersección de los planos:
x +y – z – 1 + 1/4 (2x – y + z – 2) = 0
Simplificar la ecuación del plano:
4x+ 4y – 4z – 4 + 2x – y + z – 2 = 0
6x + 3y – 3z – 6 = 0
P: 6x + 3y - 3z = 6