Integración por partes

1. El método



El cálculo de primitivas puede ser complicado en ocasiones, por lo que disponemos de diferentes métodos de integración que nos ayudan en este tarea. Uno de ellos es la integración por partes, útil, sobre todo, cuando tenemos en el integrando un producto o un cociente. Este método se basa simplemente en la fórmula

Identificamos en nuestra integral los factores y y aplicamos la fórmula. Para obtener tenemos que derivar y para obtener tenemos que integrar . Por tanto, la dificultad del método radica en la buena elección de los factores y para poder derivarlo e integrarlo, respectivamente.

2. Ejemplo de aplicación paso a paso

Calcular la integral del producto de x por la exponencial

Podemos escoger entre

y

Haremos los dos casos para que el lector pueda apreciar la importancia en la elección de los factores de integración. Para el primer caso tenemos

Notemos que en la primera igualdad hemos derivado y en la segunda, integrado. Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos

siendo la constante de integración (cualquier constante). Para el segundo caso tenemos

Al sustituir en la fórmula de integración por partes tenemos

Notemos que ahora tenemos que calcular una integral más complicada que la inicial. Esto se debe a que en el primer caso disminuimos el grado del polinomio al derivar, mientras que en el segundo lo aumentamos.

3. Ejemplo de aplicación 2

Calcular la integral del logaritmo neperiano



En este caso no tenemos ni un producto ni un cociente explícito, pero podemos considerar

ahora tenemos que escoger y . Si no solucionamos el problema ya que para calcular tenemos que calcular la integral que buscamos. Luego escogemos

Aplicamos la fórmula de integración por partes y obtenemos

donde es la constante de integración.

4. Otros ejemplos

fórmula de integración por partes
fórmula de integración por partes