7.10 Espacios y Sistemas de Ecuaciones

La ecuación puede resolverse si y sólo si está en en el plano generado por los dos vectores columna . Este es el conjunto "delgado" de bs obtenibles. Si está fuera del plano, entonces no es una combinación de las dos columnas. En ese caso no tiene solución. Lo importante es que este plano no sólo es un subconjunto de ; es un subespacio. Se trata del espacio columna de A, que consta de todas las combinaciones lineales de las columnas. Se denota por C(A). Es fácil comprobar los requerimientos i) y íi) para un subespacio de : Suponga que y están en el espacio columna, de modo que para alguna x y para alguna x'. Luego, , de modo que b + b' también es una combinación de las columnas. El espacio columna de todos los vectores obtenibles es cerrado bajo la suma. ii) Si está en el espacio columna C(A), también lo está cualquier múltiplo . Si alguna combinación de columnas produce (por ejemplo ), entonces al multiplicar esa combinación por c produce . En otras palabras, . Para otra matriz A, las dimensiones de la figura 2.1 pueden ser muy distintas. El espacio columna más pequeño posible (con sólo un vector) proviene de la matriz cero A =O. La única combinación de las columnas es b = O. En el otro extremo, suponga que A es la matriz identidad de 5 por 5. Entonces C(l) es todo las cinco columnas del pueden combinarse para producir cualquier vector pentadimensional . Esto no es en absoluto especial de la matriz identidad. Cualquier matriz de 5 por 5 que sea no singular tiene como espacio columna todo . Para una matriz así, ) puede resolverse por eliminación gaussiana; hay cinco pivotes. En consecuencia, todo ) está en C(A) para una matriz no singular.