L'Ortocentro
TEOREMA
Le rette a cui appartengono le altezze di un triangolo si intersecano in uno stesso punto.
DEFINIZIONE
In un triangolo il punto di incontro delle rette a cui appartengono le altezze si chiama ortocentro.
DIMOSTRAZIONE
Tracciamo per ognuno dei tre vertici A, B e C la parallela al lato opposto. Queste rette si incontrano a due a due in quanto rette parallele a rette incidenti. Chiamiamo L, M e N i punti di intersezione delle tre rette tracciate. I quadrilateri ANBC e ABMC sono parallelogrammi in quanto hanno i lati opposti paralleli a due a due per costruzione.
Abbiamo quindi:
NB AC perché lati opposti del parallelogramma ANBC;
AC BM perché lati opposti del parallelogramma ABMC.
Per la proprietà transitiva, NB BM, quindi B è il punto medio di NM.
Tracciamo da B l’altezza BS relativa al lato AC: per definizione la retta BS è perpendicolare ad AC.
Essendo AC // NM per costruzione, BS è perpendicolare anche a NM.
BS è perpendicolare al segmento NM nel suo punto medio B, quindi è il suo asse.
In modo analogo, tracciate da A l’altezza AR e da C l’altezza CT, si dimostra che:
AR è asse del segmento NL;
CT è asse del segmento LM.
BS, AR e CT, rette delle altezze del triangolo ABC, sono anche gli assi del triangolo LMN, quindi si incontrano nello stesso punto, il circocentro di LMN.