Geometria Espacial: Propriedades iniciais
Entes primitivos
A Geometria Espacial tem por objetivo analisar as propriedades de figuras constituídas por objetos do espaço. Tais objetos são denominados entes primitivos, a saber: ponto, reta e plano. Designamos:
- pontos por letras maiúsculas ;
- retas por letras minúsculas ;
- planos por letras gregas .
Representação geométrica dos entes primitivos
Postulados & Teoremas
Postulados são propriedades iniciais tomadas como verdades absolutas. Por isso, devem ser simples e intuitivas.
Teoremas são propriedades demonstradas por meio dos postulados e de teoremas demonstrados anteriormente.
Postulado 1 (unicidade de uma reta passando por 2 pontos do espaço)
Dados dois pontos distintos, e do espaço, existe uma, e somente uma, reta que passa por eles.
Mova os pontos e para ver que eles são do espaço e que realmente determinam a reta .
Postulado 2 (distinção entre reta e espaço)
Dada uma reta no espaço, existem pontos que pertencem à e pontos que não pertencem à .
Mova os pontos e para ver que eles realmente podem ser tomados em infinitas posições na reta e fora dela, respectivamente.
Postulado 3 (distinção entre reta e plano no espaço)
Dados três pontos não colineares, , e do espaço, existe um, e somente um, plano que passa por eles.
Mova os pontos , e para ver que eles realmente determinam o plano .
Obs.: O Postulado 3 distingue reta e plano porque os pontos não são colineares. Isso faz com que uma reta determinada por dois deles, e por exemplo, não contenha o outro, no caso, sendo que todos estão no plano . Ou seja, .
Postulado 4 (distinção entre plano e espaço)
Dado um plano do espaço, existem pontos que pertencem à e pontos que não pertencem à .
Mova os pontos e para ver que eles realmente podem ser tomados em infinitas posições no plano e fora dele, respectivamente.
Teorema 1
Se dois pontos distintos, e , de uma reta do espaço pertencem a um plano , então está contida em .
Mova os pontos e para ver que a reta está contida em quando e pertencerem à .
Demonstração
Pelo Postulado 1, temos que os pontos e determinam uma única reta do espaço. Por outro lado, da Geometria Plana, temos que dois pontos distintos de um plano determinam uma única reta neste plano. Portando, como e pertencem a , a reta do espaço, determinada pelos pontos e , está contida no plano .
Teorema 2
Dados no espaço, uma reta e um ponto não pertencente a , existe um único plano que contém e .
Mova a reta (utilizando os pontos e ) e o ponto para ver que eles realmente determinam o plano .
Demonstração
Pelo Postulado 2, podemos tomar pontos distintos e pertencentes à reta . Além disso, pelo Postulado 3, os pontos , e determinam um plano , pois são pontos não colineares. Note que o plano contém o ponto por construção e contém a reta pelo Teorema 1, já que contém os pontos e . Suponha, por absurdo, que existe um plano distinto de que passe por e . Então, os pontos , e pertencem a este outro plano. Mas, isso é uma contradição, pois pelo Postulado 3, é o único plano que passa pelos pontos , e não colineares.
Postulado 5 (tridimensionalidade do espaço)
Dado um plano , o espaço fica dividido em dois semiespaços de tal forma que dois pontos e estão em um mesmo semiespaço se, e somente se, o segmento não corta o plano .
Mova os pontos e para ver que o segmento realmente corta o plano se e estiverem em semiespaços opostos em relação à .
Obs.: O Postulado 5 garante a tridimensionalidade do espaço porque mostra que este tem exatamente uma dimensão a mais que o plano, já que isso é necessário para um plano dividi-lo em dois semiespaços, da mesma maneira que ocorre para um ponto dividir uma reta em duas semirretas e uma reta dividir um plano em dois semiplanos.
Teorema 3
Se dois planos distintos, e do espaço, possuírem um ponto em comum, então eles possuem mais um ponto em comum e portanto, possuem uma reta em comum.
Mova os pontos e veja que realmente conseguimos encontrar um ponto diferente de na intersecção entre e .
Demonstração
Seja um ponto em comum entre os planos e . Pelo Postulado 5, o plano divide o espaço em dois semiespaços. Sejam ainda, o ponto distinto de , pertencente a , e a reta definida pelos pontos e . Note que a reta está contida em . Por fim, seja o ponto , pertencente a , mas não a .
- Se estiver no mesmo semiespaço de em relação a , então podemos tomar um ponto sobre a reta de maneira que fique entre e . Note que, o ponto está contido no plano , pois foi tomado sobre a reta . Além disso, novamente pelo Postulado 5, o ponto está necessariamente no semiespaço oposto de em relação ao plano , pois o ponto pertence ao segmento e ao plano . Com isso, temos que o segmento corta o plano , pois e estão em semiespaços opostos em relação a . Ainda mais, corta em um ponto diferente de , já que não pertence a .
- Se estiver no semiespaço oposto de em relação a , então o segmento corta o plano em um ponto diferente de , já que não pertence à reta .
Sugestão de atividades
1- Definir, provar e fazer a construção no GeoGebra das posições relativas entre:
- duas retas no espaço;
- reta e plano no espaço;
- dois planos no espaço.
- duas retas concorrentes;
- duas retas paralelas.
Referências
CARVALHO, P. C. P. Introdução à geometria espacial. SBM: Rio de Janeiro, 2005 (Coleção do Professor de
Matemática).