Das Volumen der Pyramide - Cavalieri
1. Das Prinzip von Cavalieri
Haben zwei Körper gleicher Höhe beim Schnitt mit einer Ebene E flächengleiche Schnittflächen und gilt dies auch für jeden Schnitt mit einer zu E parallelen Ebene, dann haben die Körper den gleichen Rauminhalt.
Zwei Stapel an gleich großen Platten haben immer das selbe Volumen. Probiere die Schieberegler aus.
Beispiel: Wir wollen das Prinzip von Cavalieri auf diese beiden Körpern anweden.
Um den Satz von Cavalieri anzuwenden, müssen wir zeigen, dass jede Schnittfläche flächengleich ist. Berechne die Schnittflächen der beiden Figuren, vergleiche sie und kontrolliere dich mit der Lösung.
Welche weitere Voraussetzung müssen die beiden Körper erfüllen, damit das Prinzip von Cavalieri angewendet werden kann?
Jetzt sind alle Vorraussetzungen für das Prinzip erfüllt und seine Aussage gilt: Klicke die richtige Aussage an. Die beiden Körper sind:
Du siehst hier zwei unterschiedliche Pyramiden mit identischer Grundfläche, die beide gleich hoch sind. Die Schnittflächen und sind jeweils gleich groß (Dies kann über die Ähnlichkeit von Dreiecken beweisen werden).
Nach dem Prinzip von Cavalieri folgt daher:
Zwei Pyramiden, mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, besitzen dasselbe Volumen.Die Beziehung zwischen Prisma- und Pyramidenvolumen
3. Das Volumen einer dreiseitigen Pyramide: Wir wollen nun das Volumen der orangen dreiseitigen Pyramide berechnen. Wir ergänzen diese durch zwei Ergänzungspyramiden (gelb und lila) zu einem Prisma. Verschiebe die weißen Punkte so, dass ein Prisma entsteht. Den blauen Punkt kannst du verwenden, um die Abmessungen der Körper zu ändern. Den gelben Punkt bitte nicht verändern, sonst kannst du nicht mehr weitermachen.
Wir wollen nun wieder das Prinzip von Cavalieri auf die Pyramiden anwenden und zeigen, dass sie alle volumengleich sind. Drehe die Ansicht (Kästchen neben dem Mauskästchen) und verschiebe (Mauskästchen) die Pyramiden so, dass du bei einer Ergänzungspyramide und der orangen Pyramide gut erkennen kannst, dass sie in der Grundfläche übereinstimmen. Drehe jetzt die Ansicht, um noch zu überprüfen, ob auch die Höhe übereinstimmt. Jetzt mit der anderen Ergänzungspyramide Wenn du nicht weiterkommst, hole dir einen Tipp in der Lösung. (Bei der Antwort einfach ein Leerzeichen einfügen und die Lösung anschauen)
Erkläre, was uns das Überprüfen gebrach hat.
Das Volumen der Pyramide Folgere mit diesem Wissen aus der Volumenformel des Prismas das Volumen der Pyramide.
Wir können dieses Verfahren auf jede Pyramide mit n-eckiger Grundfläche verallgemeinern, da jedes n-Eck in Dreiecke zerlegt werden kann und damit eine solche Pyramide in dreieckige Pyramiden gleicher Höhe zerlegt werden kann. Sind G1,.... Gn ihre Grundflächen, so gilt:
