GeoGebra

Exponentialfunktion und Logarithmus (Dokumentation)

Auteur:Eric Hurrle
Exponentielle Vorgänge begegnen uns überall. Ob es in der Physik um Luftdruck, das Aufladen eines Kondensators oder die Lasertechnik geht oder in der Biologie Epidemien oder das Wachstum von Pflanzen modelliert werden. In allerhand Wissenschaften wird die Exponentialfunktion genutzt. (Weiter Beispiele: Medien, Finanzwesen, Chemie, Medizin). Deswegen bietet es sich hier stark an SuS mit Anwendungen aus der realen Welt für das Thema zu begeistern.

Bildungsplan

Im Bildungsplan treffen die SuS bereits in der 9. Klasse auf die Exponentialfunktion. Dort lernen sie unter der i.K. (=inhaltsbezogenen Kompetenz) Funktionalen Zusammenhang den Graphen der Exponentialfunktion mit unter Verwendung charakteristischer Eigenschaften kennen. Damit verbunden werden außerdem Wachstumsvorgänge und die Bedeutung der Begriffe von Halbwertszeit und Verdopplungszeit. Zudem findet sich auch die Wirkung von Parametern hier wieder. Hier begegnet den SuS auch die i.K. Zahl-Variable-Operation. Begriffe wie Zinsatz, Anfangskapital, Endkapital, Laufzeit und Zinseszins aber auch die Formel wird erläutert. Dazu wird hier bereits der Logarithmus zur Lösung einer Exponentialgleichung eingeführt. Unter den p.K (=prozessbezogene Kompetenzen) treffen die SuS dann noch auf:
  • Modellieren
  • Probleme lösen
  • Argumentieren und Beweisen
Wie bereits erklärt gibt es jede Menge an Anwendungsbeispielen über die Mathematik hinaus, weswegen unter i.K.a (= inhaltsbezogene Kompetenzen anderer Fächer) auch Themen der Physik angemerkt sind. Darunter fällt das Elektrische Feld in Bezug auf das Auf- und Entladen des Kondensators und die Elektrodynamik. Die Leitperspektiven für die Klassen 9/10 sind hierbei:
  • Komplexität und Dynamik nachhaltiger Entwicklung (BNE)
  • Fachspezifische und handlungsorientierte Zugänge zur Arbeits- und Bereufswelt (BO)
  • Information und Wissen (MB)
  • Chancen und Risiken der Lebensführung: Finanzen und Versorge (VB)
Weitergeführt wird das Thema dann in der Oberstufe (11/12 Klasse). Unter den i.K.'s fällt auch wieder Zahl-Variable-Operation, denn nun wird die Euler'sche Zahl e näherungsweise bestimmt. Auch der Funktionaler Zusammenhang wird erneut behandelt, hierbei geht es nun um die natürliche Exponentialfunktion und deren charakteristische Eigenschaften. Sowie auch der natürliche Logarithmus. Unter i.K.a's fallen nun Themenbereiche in der Chemie, wie Säure-Base-Gleichgewichte.

Darstellung in der Schule

In der Schule sind 4 Definitionen von besonderem Interesse:
  1. Eine Funktion mit f heißt Exponentialfunktion zur Basis mit ()
  2. Der Logarithmus von zur Basis , löst die Gleichung
  3. Die natürliche Exponentialfunktion zeichnet sich durch die Basis e (Euler'sche Zahl) aus
  4. Die Lösung der Gleichung nennt man den natürlichen Logarithmus
Da 1. und 2. in der Oberstufe, 3. und 4. in der Kursstufe unterrichtet werden kann man gut erkennen, wie die Begriffe aufeinander aufbauen und der Begriff der Exponentialfunktion erweitert wird.

Besonderheiten der natürlichen Exponentialgleichung

Wie bereits erwähnt lernen die SuS die natürliche Exponentialfunktion (sowie auch den natürliche Lograithmus) erst in der Oberstufe kennen, dort wird ihm allerdings ein recht großer Wert zugerechnet. Neben Besonderheiten, wie in etwa das streng monotone wachsen und den nicht existierenden Nullstellen steht eine ganz spezielle oft im Vordergrund. Die charakteristische Eigenschaft, welche die Exponentialfunktion in der Differentialrechnung hat. Denn die Ableitung der Exponentialfunktion entspricht wieder der eigenen Funktion. Dies kann schnell mit einem leichten Beweis gezeigt werden, wie ihn auch der Lambacher Schweizer benutzt (deswegen wird er hier nicht erneut abgebildet). Zu zeigen warum die natürliche Exponentialfunktion diese Eigenschaft erfüllt ist für SuS sehr wichtig, denn alleine um damit weiter rechnen zu können muss ein zunächst ein Fundament bestehen. Dieses Fundament legen wir mit der Begründung warum es überhaupt so ist, wie es ist.

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus wird in der Schule vermittelt, allerdings wird nicht begründet warum dies der Fall ist. Das ist natürlich schade, denn alle Mittel für den Beweis hätten die SuS. Gründe hierfür könnte die didaktische Reduktion darstellen, welche an diesem Punkt nicht genauer erklärt wird, dies ist die Aufgabe eines anderen Vortrags. Die Ableitung kann durch die Umkehrfunktion sehr schön, vor allem graphisch dargestellt werden. Hier bietet es sich natürlich an Geogebra zu Hilfe zu nehmen und den SuS diese Eigenschaft womöglich sogar spielerisch zu zeigen. Im späteren wird dies auch in den Aufgaben gemacht. Den SuS wird dabei nur eine leicht verständliche Anleitung dargelegt, den Rest müssen sie selbst entdecken.

Didaktisches Prinzip "Inverted Classroom"

Inverted Classroom oder auch Flipped Classroom genannt ist eine Unterrichtsmethode, die übliche Aktivitäten innerhalb und außerhalb des Klassenzimmers umdreht (invertiert). Die lehrende Person (wir) stellen digitale Materialien zur Verfügung, welche sich die Lernende Person eigenständig aneignet. Das gibt die Möglichkeit, dass die Präsenzveranstaltung meist nur der Vertiefung dient. Diese Art des Unterrichts wurde entwickelt, da Studien zeigen, dass vorwiegend rezeptives Verhalten während Frontveranstaltungen zum Absinken der Aufmerksamkeit führt. Die Aufmerksamkeitsspanne liegt sowohl bei Jugendlichen als auch bei Erwachsenen in der Regel unter der Dauer einer Unterrichtsstunde. Zudem kann das heterogene Vorwissen der SuS dafür sorgen, das einige über- und die anderen unterfordert sind und individuelles Üben zu Verständnisproblemen führt, die nicht alleine gelöst werden können. Präsenzveranstaltungen werden dann neu gestaltet: Es gibt viel Zeit in der Probleme und Schwierigkeiten angesprochen, sowie gemeinsame Aufgaben bearbeitet werden können. Hier kann dann genau überprüft werden, ob der Inhalt verstanden wurde. Da nun das Lernen auf die Zeit außerhalb des Unterrichts verschoben wird, muss der Lehrende nötige Materialien zur Verfügung stellen, mit denen sich der Stoff eigenständig erarbeitet werden kann. Dafür bieten sich verschiedene Materialien an:
  • Unterrichtsaufzeichnungen
  • Screencasts
  • Podcasts
  • Schriftliche Unterlagen
  • Digitale Skripte
  • Geogebra Applets/Bücher
Vorteile für diese Unterrichtsart sind vielseitig. SuS können asynchron, ortsunabhängig, individuell, selbstgesteuert und in eigenem Lerntempo lernen. Dadurch werden wertvolle Präsenzzeiten in der Schule zur gemeinsamen, interaktiven Vertiefung genutzt. Für Lehrende bietet es natürlich de Vorteil, dass bereits erstelle Lernmaterialien bei ähnlichen Inhalten wiederverwendet werden können. Nachteile dagegen sind der relativ hohe Aufwand für Lehrende. Irgendwo müssen die Materialien ja herkommen. Zudem ist kein direktes Nachfragen während des Erlernens möglich, hierbei können sich natürlich Logikfehler einschleichen. Zu dem sind hier einige Gefahren zu beachten! Selbstgesteuertes Lernen stellt die Anforderung selbst darauf zu achten im Bilde zu sein. Sollten die Lernmaterialien nicht bearbeitet werden und die SuS sind nicht vorbereitet dann bringt die Präsenzveranstaltung und das damit eingehende Üben natürlich nichts. Zudem ist ein gewisser Grad an technischer Ausstattung nötig, welche durch ungleiche Voraussetzungen durchaus nicht gegeben sein muss. Auch für uns stellt sich die Gefahr, dass geeignete Materialien teils nur schwer gefunden werden können. Das kann die zu investierende Zeit zur Erstellung von Lernmaterialien stark erhöhen. Diesen Gefahren muss man entgegenwirken. Das kann durch viele verschiedene Möglichkeiten erreicht werden, die wir uns hier genauer anschauen: 1) Eine klare Strukturierung Durch klar definierte Abläufe und eine übersichtliche Struktur kann Zeit richtig genutzt werden. Legt man in etwa Schwerpunkte fest oder definiert für einen Textabschnitt die höchste Zeit, die man sich damit befassen sollte, macht es das für SuS einfacher zu erkennen wo die tatsächlich relevanten Informationen stecken. 2) Anreizsysteme Wir haben bereits verschiedene Apps und Programme kennengelernt, welche automatisch auswertbare Übungsaufgaben zur Selbstkontrolle zur Verfügung stellen. Diese können in Kombination mit einem High-Score System dafür sorgen, das SuS Spaß und Interesse an den Aufgaben entwickeln oder versuchen mehr "Punkte" als ihre Schulkameraden zu bekommen. 3) inhaltliche Hilfestellungen: Mit Leitfragen kann zusätzlich relevantes Wissen betont werden aber auch sichergestellt werden, dass Themen erst verstanden werden bevor es zum nächsten geht. Zusatzmaterial, wie in etwa Lückentexte bieten sich hierbei natürlich auch an, besonders um in der Mathematik die korrekte Sprache zu vermitteln. Unter diesen Werkzeugen treten zwei besonders hervor. Darunter befindet sich Advance Organizer und Hypervideos. Diese werden nun noch genauer betrachtet: Special 1: Advance Organizer Das ist eine vorbereitende Organisationshilfe, speziell für selbst organisierte Lernprozesse und dient zur Visualisierung der Lerninhalte. Es soll die Verknüpfung und Verbindung des neuen Fachwissens mit dem schon vorhandenen erleichtern. Dabei steht eine allgemeine gedankliche Struktur im Vordergrund. Darunter fallen dann Elemente wie Bilder, Graphiken, kurze Texte oder Begriffe. Zum Schluss wird das in Form einer sogenannten Lernlandkarte zusammengefügt. Das ist durch hilfreich, da unser Gehirn zu Themen ebenfalls eine kognitive Landkarte anlegt, die wir durch Advance Organizer sicherstellen können. Special 2: Hyper-Videos Damit sind digitale Videos mit dynamischen Hyperlinks gemeint. So können Videos mit Zusatzinformationen verknüpft werden, wie etwa mit Texten, Bildern oder weiteren Videos. Verwendet wird es oftmals innerhalb einer Gruppenarbeit (kooperatives Lernen), das es dazu dienen kann Wissen auszutauschen und zu diskutieren. Zusätzlich fördert es den Umgang mit neuen Medien, etwas das man in dieser Zeit niemals unterschätzen sollte. Zu beachten ist hierbei allerdings, dass schnell relativ komplex werden kann und womöglich zu hohe Ansprüche an die SuS stellt.

Software "Tracker"

Da in dieser Einheit auch Aufgaben mit dem Programm Tracker behandelt werden, wird dieses kurz erklärt. Tracker stellt ein kostenloses Videoanalyse- und Modellierungstool da, welches für den Einsatz im Mathematik und Physik Unterricht konzipiert ist. Durch die Kombination von Video und Computermodellierung bietet es sich an, um Grundsätze in der Physik zu zeigen. (Auch als Browser-App verfügbar) Eine Anleitung findet sich hier. Der Link zum Download findet sich hier.

Literaturquellen

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