Änderungen berechnet man mit Ableitungsfunktionen
Die Einheit von Ableitungsfunktionen
Bei einer Funktion werden die Funktionswerte, also auf der Ordinate abgelesen und die Zahlen auf der Abszisse. ist die Änderung von bezüglich der Größe und hat als Einheit die Einheit der Ordinate (y-Achse) geteilt durch die Einheit der Abszisse (x-Achse).
Beispiele aus der Physik: Strecke - Geschwindigkeit - Beschleunigung
Gegeben ist eine Funktion , die den zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt.
Die Änderung des zurückgelegten Weges in Abhängigkeit von der Zeit ist die Geschwindigkeit .
Das heißt, die Ableitungsfunktion des Weges in Abhängigkeit von der Zeit ist die Funktion der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit: (Beispiel siehe hier).
Wird die Strecke in angegeben und die Zeit in Stunden, dann hat die Ableitungsfunktion die Einheit .
Eine ähnliche Überlegung kann man bezüglich der Geschwindigkeit anstellen:
Eine Änderung der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit ist die Beschleunigung .
Ist eine Geschwindigkeitsfunktion gegeben, dann ist die Funktion der Beschleunigung .
Wird die Geschwindigkeit in angegeben, und die Zeit in Stunden, dann hat die Ableitungsfunktion die Einheit
Bezeichnungen: Ableitungen von Erlös, Kosten und Gewinn
Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktionen sind in der Regel in Abhängigkeit von der verkauften Warenmenge dargestellt.
Wenn man mehr Produkte verkaufen möchte, dann müssen auch zuerst mehr Produkte hergestellt werden. Das heißt die Kosten werden steigen. Die Ableitungsfunktion der Kostenfunktion nennt man die Funktion der Grenzkosten oder Grenzkostenfunktion. Sie gibt an, wie stark sich die Kosten ändern, wenn sich die Produktionsmenge erhöht.
Genauso nennt an die Ableitungsfunktion der Erlösfunktion die Grenzerlösfunktion und die Ableitungsfunktion des Gewinns nennt man die Grenzgewinnfunktion.
Beispielrechnung - Kostenfunktion und Grenzkosten
Gegeben ist die Kostenfunktion für die Produktion eines nachhaltigen Kopfhörers. Die Kosten sind dabei in Geldeinheiten () abgegeben. Dein Betriebsleiter möchte die Produktion erhöhen. Die Firma produziert zur Zeit (eine Mengeneinheit sind z.B. 1000 Stück).
Aufgabe:
Berechne, wie sich die Kosten mit einer Erhöhung der Warenmenge ändern würden. Das heißt berechne die Grenzkosten an der Stelle .
Beispielrechnung - Gewinnfunktion und Grenzgewinn
Gegeben ist die Gewinnfunktion Vergleiche den Grenzgewinn bei und .