La loi des sinus sphérique
Dans le plan, la loi des sinus met en relation les paires angle-côté. On a, par exemple, pour les paires angle-côté et :
On peut faire de même avec des triangles sphériques.
Une relation dans les triangles sphériques rectangles
Prenons un triangle sphérique rectangle en . Le triangle rectangle , construit d'une façon astucieuse dans l'appliquette ci-dessous, générera miraculeusement plusieurs relations.
On sait désormais que dans tout triangle sphérique rectangle
On aurait développé le même argumentaire, mais en partant du sommet , et l'on aurait obtenu :
La loi des sinus sphérique
Armés de l'identité
qui tient dans tout triangle sphérique rectangle, nous pouvons découvrir la loi des sinus sphérique.
Pour ce faire, nous abaissons une hauteur [sphérique!] à partir, par exemple, du sommet (nous supposons que ce sommet tombe bel et bien sur le côté opposé; autrement, il suffit de modifier légèrement l'argumentaire).
Nous avons alors que
En isolant dans les deux équations, l'on trouve
d'où
et
qui est la loi des sinus sphérique!