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La loi des sinus sphérique

Dans le plan, la loi des sinus met en relation les paires angle-côté. On a, par exemple, pour les paires angle-côté et :

On peut faire de même avec des triangles sphériques.

Une relation dans les triangles sphériques rectangles

Prenons un triangle sphérique rectangle en . Le triangle rectangle , construit d'une façon astucieuse dans l'appliquette ci-dessous, générera miraculeusement plusieurs relations.
On sait désormais que dans tout triangle sphérique rectangle

On aurait développé le même argumentaire, mais en partant du sommet , et l'on aurait obtenu :

La loi des sinus sphérique

Armés de l'identité

qui tient dans tout triangle sphérique rectangle, nous pouvons découvrir la loi des sinus sphérique. Pour ce faire, nous abaissons une hauteur [sphérique!] à partir, par exemple, du sommet  (nous supposons que ce sommet tombe bel et bien sur le côté opposé; autrement, il suffit de modifier légèrement l'argumentaire).
Nous avons alors que

En isolant dans les deux équations, l'on trouve

d'où

et

qui est la loi des sinus sphérique!