Styczna a własności funkcji
Pochodna funkcji będzie dalej wykorzystywana do badania własności funkcji. Część z tych związków można "odkryć" porównując własności funkcji i jej stycznych.
Ćwiczenie 1.
Zastanów się
1) w jaki sposób monotoniczność funkcji na przedziale związana jest ze współczynnikami kierunkowymi stycznych, a co za tym idzie z pochodną funkcji na tym przedziale,
2) co się dzieje w puntach, w których pochodna jest równa .
Punkt to punkt swobodny na wykresie funkcji , prosta to styczna do wykresu funkcji w .
Ćwiczenie 2.
Uzasadnij, że następujące zdania są fałszywe podając przykłady konkretnych funkcji:
1) Jeśli funkcja jest rosnąca w pewnym przedziale, to styczna we wszystkich punktach tego przedziału jest rosnąca (ma dodatni współczynnik kierunkowy).
2) Jeśli styczna w jakimś punkcie ma współczynnik kierunkowy równy , to funkcja ma w tym punkcie ekstremum lokalne.