a new hexagonal 3-web of circles
Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (20. Juli. 2022)
Diese Seite ist auch eine Aktivität des Geogebra-Books Sechseck-Netz
Unten: Dies ist kein Applet, sondern ein Bild des Applets auf der nächsten Seite!
Wegen eines hohen Aufwands an Rechnungen sind die Lade-Zeiten sehr lang. Das Applet funktioniert dennoch!Die im Inneren einer bizirkularen Quartik doppelt-berührenden Kreise erzeugen
mit den Kreisen durch die im Inneren liegenden Brennpunkte
dann und nur dann ein 6-Eck-Netz aus Kreisen,
falls der zur Symmetrie-Achse symmetrisch liegende Kreis durch die Brennpunkte zugleich ein Scheitelkreis ist.
Dieses 6-Eck-Netz ist nach unserem Wissensstand bisher unbekannt.
Erklärungen und Berechnungen:
2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise;
auf einem dieser Symmetriekreise liegen die 4 Brennpunkte .
Wählt man die Koordinatenachsen und den Einheitskreis als Symmetrie-Kreise,
ergeben sich die Brennpunkte
und die Quartiken implizit durch Gleichungen des Typs:
Die Brennpunkte können auf 3 Weisen als Grundpunkte zweier elliptischer Kreisbüschel dienen.
Die Quartik ist Winkelhalbierende der sich auf der Quartik schneidenden Kreise aus den Kreisbüscheln.
Symmetrisch zu diesen Kreisen liegen die doppelt-berührenden Kreise, aus welchen W. Wunderlich 1938
"besondere Dreiecks-Netze aus Kreisen" konstruiert hat.
Diese doppelt-berührenden Kreise können einfach mit Hilfe der zugehörigen Leitkreise konstruiert werden.
Die Leitkreise ermöglichen auch die Konstruktion der doppelt-berührenden Kreise durch vorgegebene Punkte,
und damit die "Konstruktion" der genannten Dreiecks-Netze. Wie konstruiert man die -achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreise?
Für die achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreise nützen die Leitkreise wenig.
Wir untersuchen die hyperbolischen Kreisbüschel um die Brennpunkts-Paare f , f' bzw. f'' , f'''.
Für diejenigen Brenn-Kreise aus den beiden Kreisbüscheln, die sich auf der Quartik schneiden, ist die Quartik
wieder Winkelhalbierende, die gesuchten doppelt-berührenden Kreise sind Symmetrie-Kreise der Brenn-Kreise.
Die Konstruktion beruht auf einer einfachen Eigenschaft der Brenn-Kreise:
- Spiegelt man einen der Achsenschnittpunkte des einen Brenn-Kreises an einem Scheitel-Kreis,
so erhält man einen Achsenschnittpunkt des anderen Brenn-Kreises.
Diese Eigenschaft findet man auch bei den Kegelschnitten wieder: die Brenn-Kreise sind konzentrische Kreise
um die Brennpunkte (der 2.-te Brennpunkt ist !)
Man berechnet die Parameter der Brenn-Kreis-Schnittpunkte mit der -Achse:
und daraus die Kreis-Gleichungen: :
und :
Die Berechnung der Schnittpunkte ergibt eine Parameterdarstellung der bizirkularen Quartik:
Aus Symmetrie-Gründen berechnet sich hieraus der Mittelpunkt des doppelt-berührenden Kreises,
welcher Symmetrie-Kreis der beiden Brenn-Kreise ist_
und dazu den Radius
Für die Frage, ob ein 6-Eck-Netz aus den angegebenen Kreisen erzeugt werden kann,
hat man die doppelt-berührenden Kreise durch einen vorgegebenen Punkt zu bestimmen:
man löse die Gleichung nach t auf:
Wenn es Lösungen gibt, gibt es immer genau 2 Lösungen, auch wenn die komplizierten Gleichungen
nicht wie quadratische Gleichungen erscheinen wollen!
Die Berechnungen oben wurden händisch durchgeführt, das geogebra-CAS war keinerlei Hilfe.
In den nachfolgenden Applets wurden die Lösungen mit geogebra-Lösungen(gleichung) berechnet.
Die Folgen sind einerseits die langen Ladezeiten der Applets, andererseit die wirklich überraschenden
übereinstimmenden Schnittpunkts-Berechnungen bis fast zur 15-ten Nachkommastelle,
falls ein 6-Eck-Netz vorliegt!
Der vorliegende neue Fall eines 6-Eck-Netzes aus Kreisen ergänzt die Beispiele F N (e) von FEDOR NILOV und
Ein neues 6-Eck-Netz aus Kreisen 2.
