Caso PPC

Neste caso são fornecidos dois pontos distintos A e B e uma circunferência f e devemos encontrar o círculo tangente a circunferência passando pelos dois pontos.

Queremos encontrar as circunferências c₁ e c₂ que passam pelos pontos A e B e são tangentes a circunferência f dada inicialmente. Sabemos que c₁ e c₂ pertencem a família de todas as circunferências que passam pelos pontos A e B. Tomamos inicialmente uma das circunferências dessa família que seja secante a f nos pontos A' e B' e encontramos o ponto C de interseção da reta A'B' com a reta AB. Note que, independentemente da circunferência escolhida, o ponto C mantém sempre sua posição (veja a explicação aqui), de modo que teremos que a potência do ponto C em relação a qualquer um dos círculos secantes se mantém constante e igual a AC x BC. Assim, AC x BC = A'C x B'C, já que A' e B' petencem a circunferência secante escolhida. No caso limite, em que a reta A'B' é tangente à circunferência f, temos A' = B' = T, ou seja, A'C = B'C = TC e assim AC x BC = TC². Portanto, o que precisamos é obter os pontos T (na verdade serão dois, T₁ e T₂) que satisfazem esta condição, estes pontos são precisamente aqueles obtidos quando procuramos as retas tangentes a f passando por C (veja aqui como fazer isso). Logo, as circunferências c₁ e c₂ que passam pelos pontos A e B e por um dos pontos de tangência T₁ ou T₂, representam a solução do problema.

Não é possível obter a solução deste caso, visto que ao traçarmos um círculo, ele deverá intersectar pelo duas vezes a circunferência, o que já foge do que é proposto no problema incialmente. Algo semelhante ocorre nos casos PPR4, PRR3 e RRR3.

(1-4) São dados dois pontos distintos A e B e a circunferência f; (5) É traçada a reta OA passado pelo centro da circunferência f e o ponto A; (6) É construída a mediatriz m₁ dos pontos A e B; (7) É determinado o ponto O de interseção entre as retas OA e m_1; (8) É traçado o círculo c de centro O passando por A e B.

OBS: Se as retas AF e AB forem perpendiculares, o círculo c degenera em uma reta.

Não é possível obter um círculo que passa por A e B e seja tangente a circunferência, uma que vez que ambos os pontos pertençam a circunferência, inviabiliza uma tangencia e passe por A e B.