4. Ángulo entre dos planos/Ángulo entre una recta y un plano

Ángulo entre dos planos

El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo determinado por los vectores normales de dichos planos y entre planos y rectas lo podemos establecer con un vector paralelo a la recta (el vector dirección, por ejemplo) y un vector normal.

Para ello conviene recordar que dado un plano π de ecuación π: Ax+By+Cz+D=0, un vector perpendicular a dicho plano (vector normal al plano) es n=(A,B,C) Así, si tenemos:

π1 plano con vector normal n₁.
π2 plano con vector normal n₂.

Entonces:

Por lo que para obtener

nos queda lo siguiente:

De acuerdo a lo anteriormente mencionado, tomamos los vectores normales

Y finalmente obtenemos la fórmula para calcular el ángulos entre planos

EJEMPLO:

Hallar el ángulo que forman los planos:

Obtenemos sus vectores normales

Aplicamos la fórmula

Y obtenemos que

EJERCICIO: Dados los planos: π1:3x−y+2z+1=0 π2:2x+y−5z−1=0 Encontrar el ángulo que forman.

Select all that apply

A
38.9°
B
75.88°
C
78.58°
D
67.42°

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Ángulo entre una recta y un plano

Una recta puede estar incluida en un plano, ser paralela a él, o bien ser secantes. El ángulo entre ellos se define de la siguiente manera en cada caso:

Si la recta está incluida en el plano o ambos son paralelos, la recta y el plano forman un ángulo de 0∘.
Si la recta y el plano son secantes, definimos el ángulo α entre la recta y el plano como el ángulo que forma la recta con su proyección ortogonal sobre el plano.

Si definimos el ángulo entre la recta y el plano como el ángulo entre la recta y su proyección ortogonal sobre el plano, podemos realizar el cálculo a partir del ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal al plano. Por tanto, si tenemos:

π: plano.
r: recta.
s: recta perpendicular al plano.
v_r: vector director de la recta r.
v_p: vector director de la proyección de la recta sobre el plano.
n: vector normal (perpendicular) al plano (y director de s).

Entonces: