Derivabilidade: Derivada Parcial
Definição
Seja
e seja ( ou seja, é um ponto interior de ). Observe que, como é um ponto interior de então existe , tal que . Desta forma, para , , temos que . Vamos chamar de .
Vamos criar uma nova função , , definida da seguinte forma:
Isto é, todas as variáveis, com exceção de , foram fixadas:
, assim definida, é portanto uma função da reta na reta e, se é derivável em , definimos a derivada parcial de com relação a variável no ponto como e a notação . Sendo assim,
Nesse caso, as outras notações utilizadas são:
Todas as regras da derivação de derivada de funções uma única variável real podem ser naturalmente aplicada, considerando que cada vez existe apenas uma variável e as outras variáveis que "sobram" são vistas como constantes.
Exemplo
Determine as derivadas parciais da função
Solução:
Para , tudo pode ser observado anteriormente, i.e podemos utilizar as regras de derivação com tranquilidade, considerando apenas uma variável por vez, de modo que
e
.
Para , conforme observado, temos que utilizar a definição. Portanto,
e
Porém esse limite com tendendo a zero, não existe.
Desta forma,
e
Interpretação geométrica
Considere a função . Se possui a derivada parcial em relação a variável no ponto , então a função , definida como , é diferenciável em e
.
Isto permite concluir que o gráfico da função possui reta tangente no ponto e o coeficiente angular dessa reta é igual a
.
Mas, observe que o gráfico de pode ser "colocado" no plano e que, neste caso, ele pode ser visto como a curva resultante da intersecção do gráfico de com o plano . Desta forma, temos que fornece o coeficiente angular da reta tangente , dada pela interseção do plano com o gráfico de , no ponto . Neste caso, observe que a reta tangente a curva no ponto , na forma cartesiana, é dada pela equação:
Por outro lado, como é a curva resultante da interseção do gráfico de com o plano , temos que fornece uma parametrização para . Desta forma, utilizando a parametrização , temos que a reta tangente à curva no ponto , na forma paramétrica, é dada por:
De forma análoga, se possui derivada parcial em relação a variável no ponto , é porque a função , definida como , , é diferenciável em e
.
Isto permite concluir que o gráfico da função possui reta tangente no ponto e o coeficiente angular desta reta é igual a
Mas observe que o gráfico de pode ser "colocado" no plano e que, neste caso, ele pode ser visto como a curva resultante da interseção do gráfico de com o plano . Desta forma, temos que fornece o coeficiente angular da reta tangente á curva , dada pela interseção do plano com o gráfico de , no ponto . Neste caso, observe que a reta tangente à curva no ponto , na forma cartesiana, é dada pela equação
Por outro lado, como é a curva resultante da interseção do gráfico de com o plano , temos que fornece uma parametrização da curva . Desta forma, utilizando a parametrização , temos que a reta tangente à curva no ponto , na forma paramétrica é dada
Exemplo
Dado , encontre os coeficientes angulares das retas tangentes, respectivamente, às curvas dadas pela interseção do gráfico de com o plano , no ponto e com o plano , neste mesmo ponto.
Solução:
Conforme observado acima, o coeficiente angular da reta tangente à curva dada pela interseção do plano com o gráfico de , no ponto , é dada por
Neste caso, temos que a reta tangente à curva no ponto , na forma cartesiana, é dada pelas equações
Além disso, temos que é a curva contida no plano , parametrizada por e a reta tangente a curva no ponto , na forma paramétrica, é dada
Da mesma forma, o coeficiente angular da reta tangente a curva dada pela interseção do plano com o gráfico , no ponto , é dado por
Neste caso, temos que a reta tangente à curva no ponto , na forma cartesiana, é dada por pelas equações
Além disso, temos que é a curva obtida no plano com o gráfico de , parametrizada por , e a reta tangente à curva no ponto , na forma paramétrica, é dada
.
Observe abaixo o esboço da função, a interseção com os planos e as retas tangentes as curvas.
Exemplo 2
Dado , encontre os coeficientes angulares das retas tangentes, respectivamente, às curvas dadas pela interseção do gráfico de com o plano no ponto , e com o plano , no mesmo ponto.
Solução:
Conforme observado acima, o coeficiente angular da reta tangente à curva dada pela interseção do plano com o gráfico de , no ponto , é dada por
Neste caso, temos que a reta tangente à curva no ponto , na forma cartesiana, é dada pelas equações
Além disso, temos que é a curva contida no plano , parametrizada por e a reta tangente a curva no ponto , na forma paramétrica, é dada
Da mesma forma, o coeficiente angular da reta tangente a curva dada pela interseção do plano com o gráfico , no ponto , é dado por
Neste caso, temos que a reta tangente à curva no ponto , na forma cartesiana, é dada por pelas equações
Além disso, temos que é a curva obtida no plano com o gráfico de , parametrizada por , e a reta tangente à curva no ponto , na forma paramétrica, é dada
Observe abaixo o esboço da função, a interseção com os planos e as retas tangentes as curvas.
O recurso abaixo tem o intuito de permitir que o leitor possa introduzir funções escalares de duas variáveis, observar seu esboço, sua derivada parcial sobre cada uma das variáveis, aplicadas em um ponto contido na função. Divirta-se!
Interpretação como taxa de variação
As derivadas parciais podem ser interpretadas como taxas de variação. Utilizando como exemplo uma função definida em , dada a função:
temos que representa a taxa de variação de com relação a variável da variável quando é mantido fixo. Da mesma forma, representa a taxa de variação de quando é mantido fixo. Em termos mais práticos, podemos citar a função , onde é o índice de calor (temperatura que corresponde à sensação de calor), é a temperatura real e é a umidade relativa do ar. Neste caso, estamos dizendo que o índice de calor é função da temperatura real e da umidade relativa do ar. Deste forma, temos que quando e , i.e. , fornece a taxa do índice de calor com relação à variação da temperatura, na temperatura , quando a umidade relativa do ar é mantida fixa em . Da mesma forma, temos que quando e , i.e. , fornece a taxa de variação do ́índice de calor com relação à variação da umidade relativa do ar, para a umidade relativa do ar igual a , quando a temperatura é mantida fixa em .
A seguir, raciocinando como feito com derivadas de funções da reta na reta, vamos
fornecer aproximações para variações no índice de calor quando mantemos uma das
grandezas fixas e variamos apenas a outra.
Uma vez que,
para suficientemente pequeno, podemos fornecer a seguinte aproximação
de modo que
.
O significado dessa aproximação acima é:
"A variação do índice de calor, quando a umidade é mantida fixa em , e a temperatura varia de a é de aproximadamente ".
Analogamente, como
para suficientemente pequeno, podemos fornecer a seguinte aproximação
de modo que
O significado dessa aproximação acima é:
"A variação do índice de calor, quando temperatura é mantida fixa em , e a umidade relativa do ar varia de a é de aproximadamente ".
De fato, considerando agora uma função arbitrária definida em ,
,
onde possui derivadas parciais no ponto, como
,
para pequeno, temos que
,
de modo que
.
Neste caso, temos que fornece a taxa de variação de e relação a variação da variável quando a variável permanece fixa.
Da mesma forma, como
para pequeno, temos que
de modo que
Neste caso, temos que fornece a taxa de variação de e relação a variação da variável quando a variável permanece fixa.
Vetor Gradiente
Seja
e seja (ou seja, é um ponto interior de ). Se possui todas as derivadas parciais de primeira ordem em , o vetor gradiente de em , denotado por , é definido como
Exemplo
Determine , onde .
Solução:
Calculemos primeiramente .
Temos que .
Agora façamos .
Temos que
.
Podemos concluir então que