Triunghiul lui Sierpinski
Construcţie:
- determinăm mijloacele laturilor triunghiului echilateral (nu e obligatoriu să fie echilateral, dar aşa a fost prima dată, probabil din motive estetice) şi le unim cu segmente de dreaptă (așa numitele linii mijlocii în triunghi);
- "ştergem" interiorul triunghiului format de liniile mijlocii şi păstrăm triunghiurile din vârfurile triunghiului iniţial. Avem 3 "copii identice" cu latura la jumătate din latura triunghiului mare.
- repetăm, operaţiile de la etapele 1 şi 2, în fiecare dintre triunghiurile rămase.
- repetând "la nesfârşit" 1 şi 2 asupra tringhiurilor rezultate la ultima etapă, vom ajunge la ceea ce matematicienii au numit "triunghiul lui Sierpinski".
- Construiţi triunghiul cu vârfurile în mijloacele, deja marcate, laturilor triunghiului mare. Schimbaţi culoarea acestuia pe alb.
- Determinaţi mijoacele (
) laturilor triunghiurilor din colţuri şi repetaţi 1 pentru fiecare dintre aceste triunghiuri. - Repetaţi până când latura triunghiului "mijloacelor" ajunge la 1u.
- Împărţiţi laturile triunghiul în 3 segmente "egale", (lungimea comună fiind 1/3 din latura triunghiului mare), folosind punctele din grilă, după care le uniţi cu segmente, două câte două, astfel încât punctele unite să fie la aceeaşi depărtare de vârful comun laturilor pe care se află (1 cu 1, 2 cu 2, dar nu 1 cu 2) ca în figură (poate nu v-aţi prins). Se scot (adică le construiţi) triunghiurile formate care au doar vărfuri în comun cu laturile triunghiului mare şi se păstrează celelalte. Schimbaţi culoarea triunghiurilor construite (scoase din peisaj) pe alb.
- Repetaţi 1 pentru fiecare dintre aceste triunghiuri rămase.
- Puteţi descrie ce rămâne din figură, dacă repetăm procedura, "la nesfârşit"?
Întrebare ... cu întrebări, adică ceva de genul: ||||||||
Câte triunghiuri determină segmentele construite la prima etapă? Cum sunt aceste triunghiuri? Ce triunghiuri sunt şterse din peisaj? Puteţi parcurge toate laturile figurii obţinute, trecând o singură data, pe o latură?
Triunghiul lui Sierpinski, versiunea 3D
Mersul "nehotărâtului".
Pornind de undeva, de exemplu din punctul verde, aleg la întâmplare, cu şanse egale, una dintre destinaţiile colorale cu roşu (le puteţi atribui ce funcţionalitate doriţi) şi pornesc, direct spre ea. La jumătatea drumului, mă opresc, să hotărăsc, merg tot acolo, sau aleg altceva, dintre celelalte. Şi tot aşa, ..., până se face seară, ori mă plictisesc şi mă întreb, ce rost au aceste drumuri, ori nu mă mai întreb nimic. Cineva, acolo sus, priveşte şi se minunează. Dacă modificaţi poziţiile puncteler colorate, se întămplă ceva agitaţie, dar modelul se păstrează.