Puntos notables en un triángulo. La recta de Euler.
En esta actividad vas a encontrar todos los puntos notables de un triángulo. Para ello vamos a hacer previamente un repaso de lo que acabas de leer.
Aviso: Cuando reviséis la respuesta, os aparecerán ticks verdes o cruces rojas en cada opción. Es decir, si yo tengo que elegir entre A, B, C y D la opción A y elijo la B. Me saldrá una cruz en la A (porque tenía que haberla elegido y no la he elegido), una cruz en la B (porque la he elegido y no tenía que haberla elegido) y un tick verde en la C y en la D (porque no las he elegido y es correcto no haberlo hecho).
Cuando termines la construcción, con la recta de Euler incluida, haz click en las tres rayas de la esquina superior derecha de la pantallita de geogebra y pulsa "Descargar como" descargarlo como imagen, pdf o como mejor quede y lo subís en la tarea correspondiente.
¿Cómo se denomina el punto notable que se encuentra en la intersección de las alturas de los lados de un triángulo?
¿Cómo se denomina el punto notable que se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo?
¿Cómo se denomina el punto notable que se encuentra en la intersección de las medianas de los lados de un triángulo?
¿Cómo se denomina el punto notable que se encuentra en la intersección de las bisectrices de los lados de un triángulo?
Realiza los siguientes pasos en el applet de geogebra que tienes a continuación:
¡Importante! Si quieres mover o seleccionar algo, tienes que poner el puntero sobre el primer icono de los que tienes arriba y seleccionar la opción "Elige y mueve". Si no haces esto, pueden aparecerte puntos o rectas que no querías. Dicho esto... que comience la aventura:
1. Traza las mediatrices (recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a éste)
- Pon el puntero sobre el cuarto icono de los que tienes arriba.
- Elige la opción "mediatriz"
- Selecciona los puntos A y B, aparecerá la mediatriz del segmento formado por A y B.
- Selecciona los puntos A y C, aparecerá la mediatriz del segmento formado por A y C.
- Selecciona los puntos B y C, aparecerá la mediatriz del segmento formado por A y C.
2. Crea un punto: punto de intersección de las mediatrices y llámalo Cir.
- Pon el puntero sobre el segundo icono.
- Elige la opción "intersección"
- Pulsa dos de las mediatrices y aparecerá un punto.
- Llama "Cir" (circuncentro) al punto. Para ello haz click con el botón derecho del ratón en el nuevo punto y elige renombra. Cambia el nombre que aparece por Cir.
3. Pon las mediatrices y el punto Cir del mismo color (por ejemplo azul)
- Pon el puntero sobre el primer icono.
- Elige la opción "Elige y mueve".
- Haz click en el punto, arriba a la derecha verás un cuadrado de color negro seguido de otras cosas. Pulsa en el cuadrado y elige el color azul.
- Haz click en una de las mediatrices y cambia el color a azul. Haz lo mismo para las otras dos.
4. Traza las bisectrices de los ángulos (recta que divide al ángulo en dos mitades)
- Pon el puntero sobre el cuarto icono de los que tienes arriba.
- Elige la opción "bisectriz"
- Selecciona los puntos A, B y C en distinto orden e irán apareciendo las tres bisectrices.
5. Crea un punto: punto de intersección de las bisectrices y llámalo In.
- Pon el puntero sobre el segundo icono.
- Elige la opción "intersección"
- Pulsa dos de las bisectrices y aparecerá un punto.
- Llama "In" (incentro) al punto. Para ello haz click con el botón derecho del ratón en el nuevo punto y elige renombra. Cambia el nombre que aparece por In.
6. Pon las bisectrices y el punto In del mismo color (por ejemplo rojo)
- Pon el puntero sobre el primer icono.
- Elige la opción "Elige y mueve".
- Haz click en el punto, arriba a la derecha verás un cuadrado de color negro seguido de otras cosas. Pulsa en el cuadrado y elige el color rojo.
- Haz click en una de las bisectrices y cambia el color a rojo. Haz lo mismo para las otras dos.
7. Traza las alturas (recta que es perpendicular al lado y pasa por el vértice opuesto)
- Pon el puntero sobre el cuarto icono de los que tienes arriba.
- Elige la opción "recta perpendicular"
- Selecciona un punto del triángulo y su lado opuesto, aparecerá una altura. Haz lo mismo con los otros dos puntos y sus respectivos lados.
8. Crea un punto: punto de intersección de las alturas y llámalo Or.
- Pon el puntero sobre el segundo icono.
- Elige la opción "intersección"
- Pulsa dos de las alturas y aparecerá un punto.
- Llama "Or" (ortocentro) al punto. Para ello haz click con el botón derecho del ratón en el nuevo punto y elige renombra. Cambia el nombre que aparece por Or.
9. Pon las alturas y el punto Or del mismo color (por ejemplo verde)
- Pon el puntero sobre el primer icono.
- Elige la opción "Elige y mueve".
- Haz click en el punto, arriba a la derecha verás un cuadrado de color negro seguido de otras cosas. Pulsa en el cuadrado y elige el color verde.
- Haz click en una de las alturas y cambia el color a verde. Haz lo mismo para las otras dos.
10. Traza las medianas (recta que pasa por el punto medio del lado y el vértice opuesto)
- Pon el puntero sobre el segundo icono de los que tienes arriba.
- Elige la opción "punto medio o centro"
- Selecciona dos vértices del triángulo, aparecerá el punto medio de ese lado.
- Pon el puntero sobre el tercer icono de los que tienes arriba.
- Elige la opción "recta"
- Selecciona el punto medio que acabas de crear y el vértice opuesto. (Si habías hecho el punto medio de A y B, ahora seleccionarás ese punto medio y el vértice C) Aparecerá una mediana.
- Haz lo mismo para A y C. Y para B y C.
11. Crea un punto: punto de intersección de las medianas y llámalo G
- Pon el puntero sobre el segundo icono.
- Elige la opción "intersección"
- Pulsa dos de las medianas y aparecerá un punto.
- Llama "G" (baricentro) al punto. Para ello haz click con el botón derecho del ratón en el nuevo punto y elige renombra. Cambia el nombre que aparece por G.
12. Pon las medianas y el punto G del mismo color (por ejemplo naranja)
- Pon el puntero sobre el primer icono.
- Elige la opción "Elige y mueve".
- Haz click en el punto, arriba a la derecha verás un cuadrado de color negro seguido de otras cosas. Pulsa en el cuadrado y elige el color naranja.
- Haz click en una de las medianas y cambia el color a naranja. Haz lo mismo para las otras dos.
Sigue leyendo más abajo una vez termines la construcción.
Analizando el resultado...
Ahora que ya has hecho la construcción, mueve los vértices del triángulo para ver cómo cambian de posición los puntos notables. ¿Qué punto(s) están siempre dentro del triángulo?
Conociendo un poco más...
Ahora que ya conoces algo más sobre los puntos notables, traza la recta que pasa por el ortocentro y el baricentro, denominada recta de Euler, y reponde a la siguiente pregunta: ¿Hay algún otro punto notable que siempre se encuentre en esa recta? Recuerda que para trazar una recta debes elegir en el tercer icono la opción recta y seleccionar los dos puntos por los que quieres que pase, en este caso Or y G.