Die Formeln

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (21.06.2023)

Bizirkulare Quartiken in Normalform

Vorgabe: Koeffizienten : bizQuAB als implizite Kurve:

mit

: 2-teilige bizirkulare Quartik, symmetrisch zu den Achsen und zum Einheitskreis
: 1-teilige bizirkulare Quartik, symmetrisch zu den Achsen
: Mittelpunktskegelschnitt, gespiegelt am Einheitskreis, achsensymmetrisch

*Scheitel:*	, *Scheitel* auf der -Achse, können imaginär sein: Wurzel wird reell gerechnet
	, *Scheitel* auf der -Achse, Wurzel wird reell gerechnet
	, *Scheitel* auf dem *Einheitskreis*, Wurzel wird reell gerechnet

Brennpunkte: mit

berechnet man

, die Wurzel wird komplex berechnet:

geogebra-Trick :

. Konfokale bizirkulare Quartiken durch einen Punkt

: Für die Koeffizienten

einer Schar konfokaler Quartiken ist

konstant, woraus

folgt. Zu vorgegebenem

besitzt die in

quadratische Gleichung

2 Lösungen, welche die beiden konfokalen Quartiken durch den Punkt

liefern. Der Leitkreis zu f, bezüglich der

-Achsensymmetrie, wird im Applet nur angezeigt, wenn f und f' auf der

-Achse liegen. In diesem Falle ist der Leitkreis

-achsensymmetrisch und schneidet die

-Achse in

und

. Gleichung dieses Leitkreises:

. Leider können wir die Bedeutung des Leitkreises hier nur ohne Formeln anführen: es fehlt noch der passende Kalkül! Zu jedem Punkt q auf dem Leitkreis gibt es genau einen

-achsensymmetrischen Kreis cdb, an welchem invertiert q und f vertauscht werden. Dieser Kreis berührt die bizirkulare Quartik doppelt. Die Berührpunkte erhält man als Schnitt von cdb mit dem

-achsensymmetrischen Kreises cw durch q, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Tangente an den Leitkreis in q mit der

-Achse ist. cw ist ein Kreis des elliptischen Kreisbüschels durch f'', f''' (für

=1), - des parabolischen Kreisbüschels, wenn f'', f''' zusammenfallen (

), bzw. des hyperbolischen Kreisbüschels zu f'', f''' (für

). Der an cdb gespiegelte Kreis cw' ist ein Kreis der elliptischen Kreisbüschels durch f und f'. cdb ist also winkelhalbierender Kreis der beiden Büschelkreise! Vorgabe: f und s auf der -Achse und wie oben. Aus diesen beiden Vorgaben berechnet man die Koeffizienten

und

. Bemerkung: Den Fall, dass die Brennpunkte nicht wie oben vorausgesetzt auf der

-Achse liegen, kann man durch eine einfache Möbiustransformation auf den oben angezeigten zurückführen.

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