Un algoritmo geométrico actual?.
Iniciamos este libro GeoGebra con los Babilonios y la finalizamos con una reinterpretación de su trabajo. Como lo hemos comentado, para ellos, resolver la ecuación era equivalente a encontrar dos números, uno de los cuales es , y el otro digamos tales que y . ¡Realmente fue al contrario, pero para nuestros propósitos podemos pensarlo de esa manera!. Lo cual, geométricamente, en los tiempos de Apolonio, podíamos haberlo pensado como: Hallar el punto de intersección de la recta y la hipérbola ; sin embargo estaríamos infringiendo la filosofía de los Griegos: Utilizar únicamente herramientas Euclidianas.
Podemos reinterpretar este proceso, para las raíces reales, de una manera diferente y adaptarnos a la manera de pensar Griega. De manera semejante podemos proceder para obtener las raíces complejas. Veamos esto.
1. RAÍCES REALES.
La construcción.
Consideramos la ecuación con números reales la cual, como sabemos es equivalente al sistema de ecuaciones y
Al elevar al cuadrado la expresión se obtiene que, utilizando la expresión , se puede escribir como y por tanto se tiene que y .
En estas condiciones:
Si las raíces reales de la ecuación se pueden encontrar como las abcisas de los puntos de corte de la circunferencia y la recta
Una observación,
La condición , implica la existencia de la circunferencia pero no necesariamente su intersección con la recta Por ejemplo, con se tiene la ecuación para la cual , la circunferencia tiene por ecuación , la ecuación de la recta es , pero estas no se intersectan, es decir, esta ecuación posee raíces complejas.
Como es conocido la ecuación posee raíces reales siempre y cuando
2. RAÍCES COMPLEJAS.
La construcción.
Para las raíces complejas ¡que no se concebían en la época de los babilonios!, podemos proceder de
una manera análoga.
Si es una solución compleja de la ecuación entonces por lo que y
En estas condiciones:
Si las raíces, complejas, de la ecuación se pueden encontrar como los puntos de corte de la circunferencia y la recta paralela al eje ,
Observese que cuando o entonces la recta es tangente a la circunferencia precisamente en el punto y por tanto su abcisa corresponde a una raíz real doble de la ecuación.