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GeoGebraTarefa

O que o produto escalar representa?

Que tipo de coisa é o produto escalar?

Dados dois vetores e , o produto escalar é

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Quem não atrapalha ajuda?

O produto escalar mede o quanto dois vetores se reforçam. Imagine um vagão de trem sobre trilhos, como no aplicativo abaixo. Imagine que uma pessoa está empurrando o vagão para a frente, na direção e no sentido do vetor . Imagine que outra pessoa está empurrando o vagão na direção e no sentido do vetor . O valor de representa o quanto as duas pessoas se ajudam ou se atrapalham. No aplicativo abaixo, em que situações as pessoas se ajudam?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Acertando no ângulo

No aplicativo abaixo, os dois vetores mantêm seus comprimentos, mas o ângulo entre eles varia de acordo com a situação. Em que situação o produto escalar tem o maior valor?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Em que situação o produto escalar tem o menor valor?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Em que situação o produto escalar tem valor zero?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Relação entre o cosseno do ângulo e o produto escalar

Observe, no aplicativo acima, como o valor de muda de acordo com o valor de . Escreva suas conclusões.

Tamanho não é documento?

No aplicativo abaixo, os dois vetores mantêm o ângulo entre eles, mas o comprimento de um deles varia de acordo com a situação. Em que situação o produto escalar tem o maior valor?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Em que situação o produto escalar tem o menor valor?

Assinale a sua resposta aqui
  • A
  • B
  • C
Verifique minha resposta (3)

Mantendo o ângulo entre os dois vetores e no aplicativo abaixo, é possível o valor de ser zero? Se sim, quando? Se não, por quê?

Arrá

Como você constatou acima, o valor do produto escalar depende
  • do cosseno do ângulo entre os vetores e
  • dos comprimentos dos vetores.
Então, podemos calcular o produto escalar como

Perceba que
  • Se o comprimento de aumenta, o valor de aumenta.
  • Se o comprimento de aumenta, o valor de aumenta.
  • Se o cosseno de aumenta, o valor de aumenta.
  • Se um dos fatores é zero, o valor de é zero.

Combinamos sempre considerar o menor dos ângulos entre dois vetores. Ou seja, sempre vai estar entre zero e 180 graus. Então, dados dois vetores, qual o único ângulo entre eles cujo cosseno é zero?

Você costuma se dar bem em sorteios?

No aplicativo abaixo, aperte o botão [Sortear] e calcule
  • Os módulos dos dois vetores (ou usando as coordenadas, ou achando triângulos retângulos na figura).
  • O cosseno do ângulo entre eles (achando um triângulo retângulo na figura; não precisa achar o valor do ângulo).
  • O produto escalar entre eles.
Aperte o botão [conferir] para ver se você acertou.

Coordenadas

Até agora, calculamos o produto escalar usando os módulos dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Mais frequentemente, vamos ter só as coordenadas dos vetores. Por exemplo,

e

Podemos calcular o produto escalar como

Ou seja, multiplicamos as coordenadas dos dois vetores, multiplicamos as coordenadas dos dois vetores e somamos os dois resultados. A proposição 4.10, no capítulo 4 do pdf usado no curso, mostra por que as duas maneiras de calcular o produto escalar -- (1) usando módulos e cosseno do ângulo e (2) usando as coordenadas -- são equivalentes. O raciocínio usa a lei dos cossenos. Pesquise a respeito. Imagine que você já calculou o produto escalar deste jeito. Imagine que você também já calculou, a partir das coordenadas, os módulos e dos dois vetores. Você pode descobrir o cosseno do ângulo entre os vetores fazendo

Então, volte para o aplicativo acima, sorteie novos vetores, e calcule, a partir das coordenadas deles, o produto escalar, os módulos e o cosseno do ângulo entre eles.

DESAFIO

Observe bem o aplicativo abaixo. Aperte o botão para iniciar e parar a animação. Você consegue explicar, em detalhes, por que o valor do produto escalar é igual à área do retângulo mostrado (multiplicada ou não por de acordo com o caso)?