Die Ableitungsfunktion grafisch
Eben hatten wir festgestellt, dass viele Funktionen überall (allso für alle Stellen x ihres Definintionsbereichs) eine Ableitung haben. Man sagt auch eine solche Funktion ist ableitbar auf ihrem Definintionsbereich.
Wäre es nicht schön, wir hätten eine Maschine, der wir eine beliebige gewünschte Stelle geben könnten, und dann spuckt sie uns sofort den Wert der Ableitung, also die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle aus?
Genau so was ist die Ableitungsfunktion. Das ist eigentlich eine ganz normale Funktion, nur dass sie statt normaler y-Werte eben Steigungswerte liefert, wenn wir einen x-Wert einsetzen.
Wie sieht eine solche Funktion aus und wie können wir sie aufstellen?
Zunächst gehen wir erst mal wieder grafisch dran:
Mit dem Ziehpunkt stellst du die gewünschte Stelle ein. Dann zeigt die Grafik die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle mit Hilfe der Tangenten und des Steigungsdreiecks an.
Jetzt könntest du eigentlich für die gesuchte Ableitungsfunktion eine Wertetabelle schreiben: Für die x-Werte nimmst du die Werte, wo sich der Ziehpunkt befindet, die y-Werte sind die Steigungswerte. Mit dieser Wertetabelle könntest du dann die Ableitungsfunktion zeichnen.
Das Programm macht das schneller: Deaktiviere das Steigungsdreieck und aktiviere Steigung über Ziehpunkt abtragen. Damit taucht ein grüner Punkt A auf. Als y-Wert hat er genau die Steigung am aktuell eingestellten x-Wert. Wenn du den Ziehpunkt wieder wandern lässt, fährt der Punkt A also den (noch nicht sichtbaren) Graphen der Ableitungsfunktion ab. Wenn du den auch sehen willst, dann musst du nur noch mit Rechtsklick auf den Punkt Spur aktivieren auswählen, dann wird tatsächlich gezeichnet.
Aufgabe
Lies nun an der grünen Gerade die Gleichung der Ableitungsfunktion ab!