Die natürliche Exponentialfunktion

Ableitung von Exponentialfunktionen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet

. Zunächst soll es um die Ableitung dieser Funktion gehen. Durchlaufen Sie dazu folgende Schritte mithilfe des GeoGebra-Applets:

Schritt: Wählen Sie individuell Werte von a und c.
Schritt: Notieren Sie eine Vermutung, wie eine Ableitungsfunktion von der Funktion lauten könnte.
Schritt: Überprüfen Sie Ihre Vermutung graphisch, indem Sie den Ableitungsgraphen anzeigen (über das Kontrollkästchen aktivieren).

________________________________________________________________________________________________________ Vermutlich stimmt Ihre Vermutung noch nicht mit dem korrekten Ableitungsgraphen überein, falls doch: direkt weiter zu 2. Fall.

Fall "Stimmt nicht überein": Versuchen Sie Ihre Vermutung immer weiter zu verbessern, sodass sie möglichst genau mit dem angezeigten Ableitungsgraphen übereinstimmt. --> Geschafft? --> weiter zu 2. Fall.
Fall "Stimmt überein": BRAVO! Aber ob das nicht Zufall war? Probieren Sie es nochmal mit einer anderen Wahl von a und c.

An dieser Stelle sollten Sie es an mindestens zwei verschiedenen Funktionen

probiert haben. Notieren Sie sich die beiden Funktionen und die zugehörigen (ausprobierten) Ableitungsfunktionen. __________________________________________________________________________________________________________

Eigenschaften der Ableitung einer Exponentialfunktion

Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.

Marca todas las que correspondan

A
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist wiederum eine Exponentialfunktion.
B
Funktion und ihre Ableitung haben dieselbe Basis.
C
Ableitungen von Exponentialfunktionen sind quadratische Funktionen.
D
Beim Ableiten ändert sich nur die Basis, der Vorfaktor bleibt gleich.
E
Beim Ableiten ändert sich nur der Vorfaktor, die Basis bleibt gleich.

Revisa tu respuesta (3)

__________________________________________________________________________________________________________ INFO Die Ableitungsfunktion einer Funktion

ist

ist dabei ein spezieller Logarithmus, darauf kommen wir noch später zurück. Im Folgenden schauen wir uns die Funktion

an, also mit

. Die Ableitung

ist damit gegeben durch

__________________________________________________________________________________________________________ Info - Euler'sche Zahl e Vielleicht ist es Ihnen schon aufgefallen? Die Funktion stimmt FAST mit der EIGENEN Ableitung überein, da (siehe gelbe Markierung). Es gibt sogar eine besondere Zahl e, sodass die Funktion EXAKT mit der eigenen Ableitung übereinstimmt, also . Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.

Marca todas las que correspondan

A
Die Zahl e heißt Euler'sche Zahl.
B
Die Zahl e ist größer als 2,7.
C
Die Zahl e ist größer als 2,8
D
Die Zahl e liegt zwischen 2,7 und 2,8.

Revisa tu respuesta (3)

__________________________________________________________________________________________________________ INFO Die Euler'sche Zahl e hat folgenden Wert:

e ist (genauso wie

) eine irrationale Zahl und hat unendlich viele Nachkommastellen. Die zugehörige Exponentialfunktion

mit

heißt natürliche Exponentialfunktion. Die Ableitungsfunktion stimmt mit der Funktion überein:

Die natürliche Exponentialfunktion

Ableitung von Exponentialfunktionen

Eigenschaften der Ableitung einer Exponentialfunktion

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