Archimedische Spirale.
Beispiele für die archimedische Spirale in der Praxis.
Zum einen wird das Prinzip der archimedischen Spirale bei CDs als Datenträger angewendet. Die Daten werden in Form von Brandmustern, die durch den Laser des CD-Brenners entstehen, von innen nach außen spiralförmig aufgetragen.
Außerdem wurde gerade in der Vergangenheit Wasserapparaturen mit den Prinzip der archimedischen Spirale genutzt. Mit diesem Prinzip war es möglich, Wasser auf höhere Ebenen zu befördern.
Als Beispiel hierfür findest du unten ein Bild.
Eine Wasserapparatur nach dem Prinzip der archimedischen Spirale.
Archimedische Spirale in einem Koordinatensystem.
Graphische Einführung in die archimedischer Spirale.
Wir starten mit folgender Formel:
r ist der Abstand zwischen den Mittelpunkt des Koordinatensystems und einem Punkt, der auf einer archimedischen Spirale liegt,
ausgedrückt.
Der Winkel drückt aus, mit welcher Umdrehung der Punkt A sich auf der Spirale bewegt hat.
Doch was bedeutet der Wert a in dieser Formel ?
Genau das möchten wir mit der unteren Abbildung herausfinden.
Verwende das Eingabefeld um folgendes herauszufinden:
- Welche Auswirkung hat der Parameter a auf die Abstände zwischen den Windungen.
- Was fällt bei den Abständen zwischen den Windungen auf.
Bemerkung:
Möchtest du eine Kommazahl für den Parameter a eingeben, dann benutze einen Punkt statt ein Komma bei deiner Eingabe !!!
Graphische Einführung in die archimedische Spirale.
Erschließung aus der oberen Abbildung.
- Nach der 1. Windung ist der Abstand zwischen den Windungen immer gleich.
- Nach der ersten Windung bestimmt a, wie groß der Abstand zwischen den Windungen ist.
Windungsabstand in einer archimedischen Spirale.
Bemerkung:
Sowohl Windungsabstand als auch der Abstand zwischen den Mittelpunkt und einen Punkt auf einer archimedischen Spirale werden üblicherweise im Bogenmaß berechnet !!!
Bedenken wir für die Formel folgendes:
- Die Windungsabstände sind gleich und damit konstant.
- a ist konstant und bestimmt den Abstand zwischen den Windungen.
- Eine Windung ist eine volle Umdrehung, daraus folgt eine Umdrehung von 2 im Bogenmaß.
Das heißt, dass a und 2 die Bestandteile für den Windungsabstand sind.
Damit ergibt sich folgende Formel:
steht für den Windungsabstand.
Windungsanstand in einer archimedischen Spirale.
Rechenaufgabe in der archimedischen Spirale.
Alle Haupt und Zwischenergebnisse werden auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet. L ist der Winkelabstand. Löse folgende Aufgaben : 1. geb: Pi=3*Pi ; r=6m ges: a 2. geb: L=9m ; ges: a 3. geb: a=0,5 ; Pi=5*Pi ges: r 4. geb: L=8m ; Pi=6*Pi ges: r 5. geb: r=3m ; Pi=5*Pi ges: L