Proporciones y banderas. Ejemplo: Argentina

La Ley 23.208 sobre Símbolos Patrios y las normas IRAM (Instituto Argentino de Normalización y Certificación, originalmente Instituto de Racionalización Argentino de Materiales), establecen cuáles deben ser las dimensiones de la bandera de Argentina. Concretamente,

debe tener 1,40m de largo y 0,90m de altura.

• Por ejemplo, una proporción 4:3 significa que a 4m de largo, le corresponden 3m de alto. (*) Ojo, que hay ocasiones en que se indica al revés, y la relación 4:3 se expresa como 3:4, aunque el factor correspondiente se calcule dividiendo 4 entre 3. Una bandera de 1,2m de largo y 0,9 de alto, tiene unas proporciones de , es decir, una relación 4:3.
• Si queremos una bandera con proporción 4:3, dada una de las dimensiones, podemos determinar la otra:
  • Si el alto debe ser, por ejemplo, 0,6m, el largo se obtiene multiplicando por 4:3. En este caso, el largo sería .
  • Si el largo debe ser, por ejemplo 1,5m, el alto se obtiene dividiendo por 4:3. En este caso, la altura sería .

1. ¿Qué relación cumple la bandera oficial, de 1,40m de largo y 0,90m de altura?
2. Para las otras relaciones indicadas en el applet, calcula cuáles serían los largos correspondientes a la bandera de 0,90m de alto. Puedes utilizar los redondeos que se indican junto a esas proporciones. En total, tendrás que hacer otros tres cálculos más.
3. Hemos obtenido largos que difieren de la dimensión oficial 1,40m. Calcula los errores absolutos y relativos correspondientes. (*) Para recordar qué es el error absoluto y el relativo, puedes utilizar esta actividad.
4. Aparte, las tres franjas deben ser igual de altas. Por tanto la altura de cada una será de la altura total de la bandera. Calcúlalo. Fíjate que, en este caso no influye la proporción utilizada en la bandera. Razona por qué sí habría influido de haber fijado el largo de la bandera (y no el alto).

• Por eso, la mayoría de las banderas suelen utilizar proporciones con valores parecidos a la razón áurea.

Para poder dibujar correctamente el Sol, necesitamos una descripción precisa de cómo hacerlo. Al igual que antes, las proporciones y las fracciones serán las que nos permitan hacerlo correctamente, pues nos permiten indicar los tamaños en relación a las medidas con las que diseñamos la bandera. Según las especificaciones para la bandera, podemos descomponer el dibujo del sol mediante varias circunferencias, centradas en el centro del a bandera. Resuelve las siguientes cuestiones relacionadas:

1. Círculo interior, que lleva representada una cara (no modelizada en el applet). Su diámetro será de la altura de la bandera. Calcula, para la bandera oficial, cuál debe ser su diámetro (y su radio).
2. Círculo exterior. No se ve, pero es el que define el tamaño de los rayos. Su diámetro será del alto de la franja blanca. Indica qué fracción es de la altura de bandera. Calcula también las medidas exactas para la bandera oficial.
3. ¿Qué operación hay que realizar para probar que ese diámetro también puede calcularse como del diámetro del círculo interior?
4. Los rayos del sol incluyen un relleno de color marrón, cuya longitud viene marcada por la circunferencia de diámetro del diámetro del círculo interior. Indica qué fracción es del total de la altura de la bandera. ¿Es verdad que, con esa longitud, llegan a la mitad del círculo exterior? Calcula la medida exacta para la bandera oficial.

Según las especificaciones, el "Sol de Mayo" de la bandera Argentina se representará con 32 rayos en honor a los que tenía el Sol figurado en la primera moneda argentina:

• 16 de ellos rectos y
• otros 16 flamígeros (curvos, representando llamas),

1. ¿Qué ángulo forman entre sí cada rayo recto con el siguiente rayo recto?
2. ¿Y entre un rayo recto y el flamígero que se encuentra junto a él?

¿Te atreves a hacer una modelización de esta bandera? No es necesario que hagas una tan completa como en el applet. Puedes elegir cualquiera de las proporciones propuestas. Pero tienes que indicar cuál has usado, y que se cumpla de verdad. Puedes subir tu modelizado a GeoGebra e indicar el enlace en la casilla inferior. Consejos:

• Las franjas de colores puedes hacerlas mediante rectángulos.
• Es mejor que recuadres la bandera con un rectángulo negro.
• Modeliza el Sol mediante un par de círculos. Puedes cambiar la intensidad (modificando la opacidad), para diferenciar una parte y otra. Si tienes conocimientos algo avanzados de GeoGebra, puedes intentar hacer los rayos. Como son muchos, te vendrá bien el comando Secuencia[ ]. Según tus conocimientos, puedes probar alguna de estas posibilidades
  • Todos iguales, como segmentos.
  • Todos rectos, como triángulos, y pensar si poner o no el relleno.
  • Crear los flamígeros mediante un polígono (con muchos lados), que imite la curva -es lo que se ha hecho en el applet-
• Puedes hacer el Sol aparte, si ves que es complicado moverte en una vista gráfica pequeña, o bien puedes ayudarte de la vista gráfica 2 para usarla como "lupa" (solo con conocimientos avanzados).

Como vemos, el diseño ya resulta algo más complejo, pues hay muchos elementos a definir. Pero, otra vez, fijémonos en la utilidad de las matemáticas. ¡Sería muy complicado intentar describir esta moharra solo con texto y sin recurrir a elementos geométricos. [Opcional] Si tienes conocimientos de GeoGebra 3D, puedes crear tu propia versión de esta moharra para niños (o la de adultos, en la página 10 de este enlace). Para ello:

• Inserta la imagen en la vista gráfica, y haz la construcción (plana) encima suya. Así será más fácil llevar las medidas. El dibujo será correcto, pues está a escala.
• Crea los demás elementos mediante sólidos de revolución.
• La media Luna puede resultar más complicada, pues no es exactamente un sólido de revolución. Puedes dejarla sin modelizar. También puede usarse la figura matemática "toro", pero seguiría sin ser exacta; hay que introducir alguna pequeña modificación en su definición para que el radio interior vaya disminuyendo.