AREA DI UN CERCHIO - PB. DI ARCHIMEDE
L'introduzione del calcolo degli integrali definiti nasce dalla necessità di determinare l'area di figure piane aventi contorno curvilineo chiuso. L'esempio più semplice è il cerchio, la cui area è stata determinata da Archimede mediante il metodo di eaustione. Se si considerano due successioni di poligoni regolari di n lati inscritti e circoscritti al cerchio, si può dimostrare che l'area del cerchio coincide con il limite comune delle due successioni costituite rispettivamente dalle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio.
Consideriamo quindi una circonferenza di diametro unitario, la sua misura sarà quindi uguale a
2r x π =d x π =1 x π = π .
Poi consideriamo i poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza. La loro area al variare del numero dei lati, sarà tale che approssimerà quella del cerchio per eccesso e per difetto. Facendo tendere il numero dei lati ad un valore elevato, si avrà che l'area tenderà ad assumere proprio il valore dell'area del cerchio πr2 . Con la costruzione possiamo verificare facilmente quanto detto.
Muovi la slider "a", che rappresenta il numero di lati del poligono inscritto. Si vede chiaramente che all'aumentare di a le aree dei poligoni inscritti e circoscritti tendono ad assumere lo stesso valore dell'area del cerchio.