Geometria no Plano - Postulados de Euclides

Os "Postulados" de Euclides:

• I Postulado: "Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une";
• II Postulado: "Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta";
• III Postulado: "Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada";
• IV Postulado: "Todos os ângulos retos são iguais";
• V Postulado: "Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos".

  Neste trabalho vamos substituir o V Postulado pelo equivalente "axioma euclidiano de paralelismo", no sentido em que substituindo um pelo outro se obtêm axiomáticas equivalentes. Este axioma estabelece que "por um ponto fora de uma reta não passa mais que uma reta a ela paralela".

De seguida vamos abordar individualmente cada um destes postulados (à exceção do V Postulado em que o iremos substituir pelo o axioma euclidiano de paralelismo) recorrendo a apliquetas que nos permitam explorar representações geométricas dos mesmos no plano.

II Postulado: "Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta". Apliqueta 4: Nesta apliqueta são dados dois pontos e que podes mover arbitrariamente pelo plano para:

• ativando a 1.ª caixa, podermos observar que há sempre um segmento de reta que une a (na apliqueta, notado por ), e
• ativando a 2.ª caixa, podermos ver que esse segmento de reta pode ser sempre prolongado a uma reta (na apliqueta, denotada por ).

Apliqueta 5: Nesta apliqueta é dado um ponto arbitrário e um seletor que toma valores entre 0 e 999 (este último valor pode ser um número não negativo tão grande quanto se queira, mas aqui escolhemos o valor 999 - um valor "grande" mas não "demasiadamente grande" - para facilitar a visualização na apliqueta) e podemos observar que, para qualquer qualquer valor positivo de , é possível construir um círculo/circunferência de centro em e de raio com medida de comprimento igual ao valor de . Podemos observar que quando , a construção que se obtém é o próprio ponto (será que pode ser considerado um círculo/circunferência? momento de reflexão). Para comprovares que de facto as construções aqui apresentadas satisfazem as hipóteses descritas, basta selecionares na apliqueta a 1.ª e a 2.ª caixas. Podes agora mover livremente o ponto ao longo da circunferência e verificar que, para qualquer raio da circunferência enquanto segmento de reta, , se obtém o mesmo raio enquanto medida de comprimento (o valor de ).

IV Postulado: "Todos os ângulos retos são iguais". Apliqueta 6: Nesta apliqueta são dados dois pontos arbitrários, e , uma reta definida por esses pontos, (que, pela arbitrariedade dos pontos e é, também ela, arbitrária) e, ainda, um terceiro ponto arbitrário, . Recorrendo às funcionalidades do GeoGebra, construímos uma reta que passa em e é perpendicular à reta ). Como esta reta perpendicular a depende apenas do ponto arbitrário , é também ela arbitrária. Para visualizares a reta basta selecionares a 1.ª caixa da apliqueta. De seguida, recorrendo às capacidades do GeoGebra, medimos as medidas de amplitude de todos os ângulos formados pela interseção das duas retas perpendiculares (para isso basta selecionares a 3.ª caixa da apliqueta). Uma vez que todos têm a mesma medida de amplitude, podemos conjeturar que todos os ângulos retos entre as retas e são iguais. Alertamos que as medidas de amplitude calculadas poderão aparecer com dois valores distintos, , ou , sendo que esta dualidade ocorre apenas por motivo das posições relativas entre os pontos e de particularidades das construções do GeoGebra. No entanto, isto não nos suscita qualquer problema uma vez que sabemos que , podendo assim concluir que o valor corresponde ao ângulo quando percorrido no sentido horário ("negativo"). Como as retas perpendiculares entre si, e , são arbitrárias (tal como já foi observado), podemos então conjeturar que em Geometria no Plano, todos os ângulos retos são iguais.

Axioma euclidiano de paralelismo: "Por um ponto fora de uma reta não passa mais que uma reta a ela paralela". Apliqueta 7: Nesta apliqueta são dados dois pontos arbitrários, e (podes movê-los livremente pelo plano), uma reta definida por esses pontos, (que, pela arbitrariedade dos pontos e , é também ela arbitrária) e, ainda, um terceiro ponto arbitrário, (podes movê-lo livremente pelo plano). Recorrendo às potencialidades do GeoGebra, podemos agora, dada uma reta qualquer, , e um ponto não pertencente a arbitrário, , traçar uma reta a ela paralela, (basta selecionar a 1.ª caixa da apliqueta). Com esta primeira manipulação da apliqueta podemos conjeturar que, em Geometria no Plano, por um ponto fora de uma reta passa pelo menos uma reta que é paralela à reta dada. De seguida, podemos conjeturar que qualquer outra reta que passe em , tem de coincidir com a própria reta para que seja paralela à reta . Para isso basta selecionar a 2.ª caixa, e manipular a reta $q$ para observar que ela apenas é paralela a $AB$ quando coincide com , ou seja, quando e apenas quando a medida de amplitude do ângulo formado pelas retas $p$ e $q$ tem o valor ou . Tal como na apliqueta anterior, esta dualidade de valores nem sempre acontece e deve-se apenas a particularidades das das construções GeoGebra feitas e das posições relativas entre os pontos utilizados, (no entanto, por um raciocínio análogo ao feito na apliqueta anterior, facilmente podemos concluir que ambos os valores mostram o pretendido). Com esta segunda manipulação da apliqueta podemos conjeturar que, em Geometria no Plano, por um ponto fora de uma reta passa no máximo uma reta que é paralela à reta dada. No conjunto das duas manipulações descritas desta apliqueta, podemos finalmente conjeturar que, em Geometria no Plano, por um ponto fora de uma reta passa uma e uma só reta que é paralela à reta dada.