6-Eck-Netze aus Kreisen: eine Übersicht
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2013 veröffentlichte F. NILOV in einem Artikel 5 neue Beispiele von 6-Eck-Netzen aus Kreisen. ( Lit.-Hinweis s.u.)
Alle 5 Beispiele zeigen Beispiele im Zusammenhang mit Kegelschnitten.
In diesem book-Kapitel haben wir die Beispiele verallgemeinert auf bizirkulare Quartiken, möbiusgeometrisch sind
Kegelschnitte Spezialfälle dieser Kurven-Klasse.
Diese Seite soll eine Übersicht über die möglichen Fälle geben; vielleicht eröffnet sie einen Blick auf die möglichen
Lösungen für dieses wahrscheinlich noch ungelöste Problem von W. BLASCHKE (1938).
Die Methoden zur Konstruktion der 6-Eck-Netze beruhen auf einem einfachen, von den Kegelschnitten her
wohl-bekannten Sachverhalt:
Kegelschnitte und bizirkulare Quartiken werden eingehüllt von verschiedenen Scharen doppelt-berührender Kreise.
Die Tangenten an Kegelschnitte zählen dazu. Bizirkulare Quartiken wie Kegelschnitte werden charakterisiert durch Brennpunkte.
Spiegelt man einen dieser Brennpunkte an den doppelt-berührenden Kreisen einer Schar, so liegen die
Spiegelbilder auf einem Kreis, dem Leitkreis oder der Leitgerade.
Umgekehrt: zu jedem Punkt auf einem Leitkreis gehört ein doppelt-berührender Kreis.
Leider ist uns ein allgemeiner, geometrisch einleuchtender Nachweis dieses sehr nützlichen Sachverhalts nicht gelungen.
Auch der CAS-Modul von geogebra ist kein Gewinn bei der Suche nach einem verständlichen Grund. Bekannte und neue 6-Eck-Netze aus Kreisen
1938 stellte W. BLASCHKE die Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus Kreisen. W. Blaschke, G. Bol, 1938. Geometrie der Gewebe. Springer
Gelöst war die Frage nach allen 6-Eck-Netzen aus Geraden mit dem Satz von GRAF & SAUER:
Geraden-6-Eck-Netze bestehen immer aus den Tangenten einer ebenen Kurve 3. Klasse.
Sechs-Eck-Gewebe aus Geraden
| Was ist ein
6-Eck-Netz ? |  | Diffeomorphismus
- - - > - - ->
Hier ist der
Diffeomorphismus
die komplexe tan-Funktion.
|  |
BLASCHKEs Problem für Kreise scheint jedoch bis jetzt ungelöst zu sein und wird als nicht einfach gewertet.
1938 hat WALTER WUNDERLICH "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" berichtet, ein Artikel, der
noch immer die zentrale Referenz für diese Problem ist.
Erstaunlicherweise ist das Problem im Raum gelöst: räumliche 6-Eck-Netze aus Kreisen liegen stets auf
DARBOUX Cycliden.
Diese Flächen sind die räumlich möbiusgeometrischen Pendants der bizirkularen Quartiken.
Sechs-Eck-Gewebe 3D
Die möglichen Netze sind sämtlich erfaßt. H. Pottmann, L. Shi, M. Skopenkov, Darboux cyclides and webs from circles
Einzige Ausnahme: die Kreis-6-Eck-Netze auf Kugeln oder Ebenen!
6-Eck-Netze aus den Kreisen dreier Kreisbüschel haben wir 1982 aufgelistet Sechs-Eck-Gewebe aus Kreisbüscheln.
Dazu wurden inzwischen weitere Arbeiten veröffentlich
A.M. Shelekhov, Classification of regular three-webs formed by pencils of circles, J. Math. Sciences 143:6 (2007) 3607-3629..
Der wesentliche Gedanke zur Charakterisierung dieser Kreisbüschel-Netze ist die Einsicht, dass der Ort, in
welchem die Kreise aus den verschiedenen Büscheln sich berühren, in Kreise (Punkt-Kreise inkusive) zerfallen muss.
Der Berührort zweier Kreisbüschel ist stets ein Spezialfall der bizirkularen Quartiken:
entweder möbiusgeometrisch die Transformierte einer CASSINI-Quartik,
oder eben eine in das Produkt zweier Kreise zerfallende Quartik. Berührorte oder CASSINI-Kurven
Auch für die in BLASCHKE`s Problem gesuchten allgemeinen Kreis-Netze scheint die Frage
nach dem Berührort eine wesentliche Rolle zu spielen. Der Berührort begrenzt den offenen Bereich,
in welchem allenfalls die 6-Eck-Bedingung erfüllt sein kann!
Das besondere Netz von W. WUNDERLICH besteht aus doppelt-berührenden Kreisen einer
2-teiligen bizirkularen Quartik.
Eine solche Quartik besitzt 4 verschiedene konzyklische Brennpunkte, dazu 4 paarweise orthogonale
Symmetrie-Kreise und zu jeder Symmetrie existiert eine Schar doppelt-berührender Kreise mit dieser Symmetrie.
Eine dieser Scharen liegt im "Inneren" der Quartik - damit meinen wir die Quartik-Seite, welche
die Brennpunkte enthält. Der zugehörige Symmetrie-Kreis ist die Hauptachse: das ist der Kreis,
auf welchem die 4 Brennpunkte liegen.
Die 3 anderen Kreis-Scharen liegen im Äußeren; aus den Kreisen dieser 3 Scharen kann man die 6-Eck-Netze bilden.
Durch jeden Punkt im Äußeren gehen von jeder dieser 3 Scharen genau 2 Kreise. Daher kann man verschiedene
Netze erzeugen. Die 3 Scharen müssen dabei zu den 3 verschiedenen Symmetrieen gehören,
bildet man im Äußeren zu den Kreisen einer Symmetrie 2 Scharen, so ist mit diesen kein 6-Eck-Netz möglich.
Die Konstruktion der 6-Eck-Netzen aus den 3 Scharen nutzt die 3 Leitkreise, welche sich zu einem
vorgegebenen Brennpunkt bezogen auf die jeweilige Symmetrie definieren lassen.
Auch Mittelpunkts-Kegelschnitte besitzen im Äußeren Scharen von doppelt-berührenden Kreisen, wobei wir
möbiusgeometrisch die Tangenten dazu zählen.
Für die Tangenten kann man die Aussage über die verschiedenen Symmetrieen nicht anwenden. Dennoch kann
man die 2 Tangenten durch einen jeden Punkt im Äußeren für 6-Eck-Netze nutzen:
das Applet unten zeigt, dass im Grenzfall - 2 Brennpunkte fallen zusammen und aus der 2-teiligen Quartik wird ein
Mittelpunkts-Kegelschnitt - aus zwei verschiedenen Leitkreisen zu verschiedenen Symmetrieen
die doppelt-zählende Leitgerade für die Tangenten entsteht.
Der zusammenfallende Brennpunkt wird dabei als gewählt.
2013 veröffentlichte FEDOR NILOV 5 neue Beispiele für 6-Eck-Netze aus Kreisen.
NEW EXAMPLES OF HEXAGONAL WEBS OF CIRCLES
Alle 5 Beispiele legen Kegelschnitte zugrunde.
Die folgende Übersicht soll zeigen, dass sich die Beispiele auf allgemeine bizirkulare Quartiken fortsetzen
lassen. Möglicherweise ergibt sich daraus ein neues Fundament für die Lösung von BLASCHKE's Problem.
Exakte Beweise für das Vorliegen der neuen Kreis-6-Eck-Netzen können wir nicht mitliefern,
jedoch spricht einiges dafür, dass diese Verallgemeinerungen zutreffen. Grenze: 2-teilig ---> Kegelschnitt
Aufzählung
I: Bekannte Referenz-6-Eck-Netze aus Kreisen
Die meisten bekannten 6-Eck-Netze aus Kreisen nehmen Bezug auf den Artikel
"Uber ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" (1938) von Walter Wunderlich
a: 2-teilige bizirkulare Quartik und 3 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen mit 3 verschiedenen Symmetrien
b: Mittelpunktskegelschnitte mit einer Schar doppelt-berührender Kreise und 2 Tangentenscharen
| a:
Cartesian
Oval |  | a:
|  |
| b:
ellipse
|  | b:
hyperbola
|  |
II: a: neu von F. NILOV (a) "The tangent lines to a circle counted twice and a parabolic pencil of circles with the vertex
at the center of the circle";
b: neu: die Tangenten an einen Mittelpunktskegelschnitt, zweifach gezählt, und das elliptische Kreisbüschel durch
die Kegelschnitt-Brennpunkte erzeugen ein 6-Eck-Netz.
Im Grenzübergang entsteht das Beispiel (a) von NILOV.
| neu
von
F. NILOV
(a)
|  | b:
neu |  |
| neu
von
F. NILOV
(b)
|  | b:
neu
|  |
III: a: neu: 2-teilige bizirkulare Quartik mit 2 Scharen doppelt-berührender Kreise und einem elliptischen
Kreisbüschel durch ein Brennpunkt-Paar; die 3 Scharen müssen zu 3 verschiedenen Symmetrien gehören!
b: neu: dasselbe mit einem hyperbolischen Kreisbüschel um ein Brennpunkt-Paar; 3 verschiedene Symmetrien.| a:
neu: |  | b:
neu: |  |
c: Beispiel neu von F. NILOV (c) Mittelpunkts-Kegelschnitt: eine Schar doppelt-berührender Kreise,
eine Tangenten-Schar und eine Geradenschar durch einen Brennpunkt:
| neu:
von
F. NILOV
(c)
Hyperbel
|  | neu:
von
F. NILOV
(c)
Ellipse
|  |
d: kein 6-Eck-Netz: Ersetzt man 2 der doppelt-berührenden Kreisscharen einer Quartik oder eines Kegelschnitts
durch 2 Kreisbüschel durch oder um die Brennpunkte, so entsteht kein 6-Eck-Netz;
auch dann nicht, wenn die 3 Kreisscharen zu verschiedenen Symmetrien gehören! Gegenbeispiel
Ein lehrreiches Beispiel hierzu:
Ein Mittelpunkts-Kegelschnitt mit einer Tangenten-Schar, den Kreisen des elliptischen Kreisbüschels durch
die beiden Brennpunkte und ein Geradenbüschel durch einen der Brennpunkte scheinen
ein 6-Eck-Netz aus Kreisen zu erzeugen.
Kontrolliert man die 6-Eck-Bedingung rechnerisch, so erweist sich, dass die 6-Eck-Figur sich nur näherungsweise,
jedoch nicht exakt schließt.
Auch mit dem Auge kann man Unstimmigkeiten nur mit starker Vergrößerung
und an den Rändern des Netzes erkennen Kein 6-eck-Netz aus Kreisen für Ellipsen
| kein
6-Eck-Netz:
d:
|  | kein
6-Eck-Netz:
ersetzt man
das elliptische
Kreisbüschel
durch die
Brennpunkte
durch das
hyperbolische
Kreisbüschel,
so entsteht ebenfalls
kein 6-Eck-Netz !!
|  |
Aufzählung 2
IV: bekannt:
In diesem Beispiel geht es um 3 Kreisscharen mit einem gemeinsamen Symmetrie-Kreis:
alle Kreise sind orthogonal zu einem festen Kreis. (Der übrigens auch imaginär sein kann!)
Fügt man zu 2 Scharen von doppelt-berührenden Kreisen mit derselben Symmetrie irgendein
hyperbolisches Kreisbüschel mit derselben Symmetrie hinzu, so entsteht ein 6-Eck-Netz aus Kreisen.
| Fall IV: |  | Begründung:
Projiziert man die Kreise stereo-
graphisch auf die Möbiuskugel
und projiziert man sie in die
Symmetrie-Ebene, so wird die
bizirkulare Quartik ein Kegelschnitt,
die doppelt-berührenden Kreise
werden zu Tangenten und das
Kreisbüschel wird ein Geradenbüschel
|
In allen diesen Fällen kann das hyperbolische Kreisbüschel nicht einfach durch das orthogonale Kreisbüschel
ersetzt werden: meist entsteht kein 6-Eck-Netz. Umso bemerkenswerter sind die folgenden Beispiele, die sich als
Verallgemeinerung des neuen Netzes (e) von F. NILOV auf bizirkulare Quartiken ergeben.
Für die Fälle, in denen kein 6-Eck-Netz entsteht, ist dies ist ein Gegenbeispiel für das von F. NILOV formulierte
web transformation problem:
es ist nicht in jedem Fall möglich, in einem 6-Eck-Netz aus Kreisen ein beteiligtes Kreisbüschel durch das orthogonale Büschel zu ersetzen!
V: a: neu: 2-teilige bizirkulare Quartik, für die ein Brennpunktskreis ein Scheitelkreis ist: 2 Scharen doppelt-berührender
Kreise im Inneren der Quartik und ein elliptisches Kreisbüschel durch die auf derselben Seite liegenden Brennpunkte.
b: neu: 1-teilige Quartik, 2 Scharen doppelt-berührender Kreise auf einer Seite und das elliptische Kreisbüschel durch die
Brennpunkte auf derselben Seite; Voraussetzung: Brennkreis = Scheitelkreis. Dieser Kreis ist Teil des Berührortes!
| neu
für 2-teilige
Quartik |  | neu
für 1-teilige
Quartik
|  |
c: neu von F. NILOV (e): die im Inneren einer Ellipse liegenden doppelt-berührenden Kreise und das elliptische
Kreisbüschel durch die Brennpunkte, vorausgesetzt: der Brennpunktskreis ist ein Scheitelkreis ist: Exzentrizität .
| neu von
F. NILOV (e)
|  | neu:
dies ist auch ein 6-Eck-Netz,
wenn das
elliptische
Kreisbüschel
durch die
Parallelen zur Hauptachse
ersetzt wird.
|  |
Diese Änderung ist auch für die Beispiele oben anwendbar: auch das elliptische Kreisbüschel durch die beiden
anderen Brennpunkte der Quartik führen zu 6-Eck-Netzen!
| neu: ! |  |
VI: neu von F. NILOV (d): "The tangent lines to a parabola counted twice and a parabolic pencil of circles with limiting point
at the focus and a arbitrary point on the directrix"
Diese Parabel-Beispiel erscheint ziemlich singulär: Alle Versuche , die Leitkreise oder Leitgeraden für andere
bizirkulare Quartiken zur Bildung von 6-Eck-Netzen aus Kreisen heranzuziehen, scheiterten.
| neu:
von
F.NILOV
(d)
|  | Eine Besonderheit dieses Beispiels:
Die Tangenten an die Parabel von einem
beliebigen Punkt auf der Leitgeraden
aus sind orthogonal:
die Leitgerade ist auch orthoptische Kurve
der Parabel!
Die orthogonalen Tangenten durch den
Büschelpunkt auf der Leitgeraden
gehören zum
Berührort des Netzes.
|